Иэн Стюарт - Математические головоломки профессора Стюарта

Метод Архимеда можно объяснить (используя современный язык и обозначения) следующим образом. Начнем с шара радиусом 1, описанного вокруг него цилиндра и некоего конуса. Если поместить центр шара в точку x = 1 на действительной прямой, то радиус сечения в любой точке x от 0 до 2 равен √(x(2 − x)), а его масса пропорциональна π квадратам этой величины, а именно π x (2 – x ) = 2π x – π x ².

Далее рассмотрим конус, полученный вращением прямой y = x вокруг оси x , опять же для 0≤x≤2. Сечение этого конуса в точке x представляет собой круг радиусом x и площадью π x ². Его масса пропорциональна этой величине с тем же коэффициентом пропорциональности, так что общая масса ломтика шара и ломтика конуса равна (2π x – π x ²) + π x ² = 2π x .

Поместим два эти ломтика в точку x = –1, на расстоянии 1 слева от начала координат. По закону рычага их в точности уравновешивает круг радиусом 1, помещенный на расстоянии x справа от той же точки.

А теперь сдвинем все ломтики шара и конуса в одну и ту же точку x = –1, так что вся их масса сосредоточится в этой единственной точке. Соответствующие (и уравновешивающие) круги имеют радиус 1 и располагаются на расстояниях от 0 до 2. Таким образом, они образуют цилиндр. Центр массы цилиндра находится в его середине, то есть в точке x = 1. Следовательно, по закону рычага,

масса шара + масса конуса = масса цилиндра,

а поскольку масса пропорциональна объему, то объем шара + объем конуса = объем цилиндра.

Однако Архимед уже знал, что объем конуса составляет одну треть объема цилиндра (одна треть площади основания на высоту, помните?), так что объем шара равен двум третям объема цилиндра. Объем цилиндра равен площади основания (π r ²), умноженной на высоту (2 r ), то есть 2π r ³ Следовательно, объем шара равен ⅔ от этой величины, то есть (4/3)π r ³.

Площадь поверхности сферы Архимед вывел при помощи аналогичной процедуры.

Он описал этот процесс геометрически, но нам проще следить за его аргументами, пользуясь современными обозначениями. Учитывая, что происходило это все около 250 г. до н. э. и что закон рычага открыл тоже Архимед, его достижения можно по праву назвать поразительными.

W. L. Allen, I. C. Cuthill, N. E. Scott-Samuel, and R. J. Baddeley. Why the leopard got its spots: relating pattern development to ecology in felids, Proceedings of the Royal Society B: Biological Sciences 278 (2011) 1373–1380.

Хотя может показаться, что эта фигура будет увеличиваться до бесконечности, на самом деле она всегда остается в пределах ограниченной области на плоскости: круга радиусом приблизительно 8,7.

Отношение радиусов окружности, описанной вокруг правильного n -угольника, и окружности, вписанной в него, равно sec π/ n , где sec – это тригонометрическая функция секанс, а угол измеряется в радианах. (Если хотите измерять угол в градусах, замените π на 180°.) Таким образом, для любого n радиус окружности, описанной вокруг правильного n -угольника на рисунке, равен

S = sec π/3 × sec π/4 × sec π/5 × … × sec π/ n [38] Секанс данной угловой величины – это величина, обратная косинусу вот этой: sec x = 1/cos x. – Прим. ред. .

М ы хотим узнать предел этого произведения при n, стремящемся к бесконечности. Возьмем логарифм:

ln S = lnsec π/3 + lnsec π/4 + lnsec π/5 + … + lnsec π/ n .

Пока x мал, lnsec x ~ x ²/2, так что этот ряд можно сравнить с рядом

1/3² + 1/4² + 1/5² + … + 1/ n ²,

который при n, стремящемся к бесконечности, сходится. Следовательно, ln S конечен, так что и S конечно. Сумма членов ряда до n = 1 000 000 дает 8,7 в качестве разумной оценки предела.

Я узнал об этой задаче, а также о приведенном ответе из книжного обзора Харольда Боаса [39] Harold Boas. American Mathematical Monthly 121 (2014) 178–182. . Этот автор нашел эту задачу в книге «Математика и воображение» Эдварда Каснера и Джеймса Ньюмена, изданной в 1940 г. Он пишет: «Может быть, если этот рисунок воспроизвести в достаточном числе книг, этот забавный пример станет частью стандартного набора задач занимательной математики».

Я стараюсь, Харольд.

Мы с Сомсом нашли еще два варианта распределения весел, не считая зеркально симметричных:

– Несмотря на всю механическую сложность задачи, – сказал Сомс, – в конечном итоге она сводится к простой арифметике. Нам нужно разделить числа от 0 до 7 на две группы – так, чтобы сумма чисел в каждой из них равнялась 14.

– Если мы знаем один такой набор, то второй определяется автоматически и тоже дает сумму 14.

– Да, Ватсап, это очевидно: просто берем числа, которые не вошли в первый набор.

– Я согласен, что это тривиально, Сомс, но это подразумевает, что мы можем использовать набор, содержащий 0; это означает, что заднее весло мы размещаем слева (при необходимости мы всегда можем взять зеркально симметричный вариант). Таким образом мы снижаем число вариантов, которые необходимо рассмотреть.

– Это правда.

Теперь рассуждения шли практически сами собой.

– Если в набор входит также 1, – заметил я, – то остальные два числа в сумме дают 13, так что это должны быть 6 и 7, что дает 0167. Если там нет 1, но есть 2, то единственный возможный вариант – 0257. Если вариант начинается с 03, возникает два следствия: 0347 и 0356. Вариант, начинающийся с 04, можно не рассматривать, поскольку получить 10 сложением двух чисел из 5, 6, 7 невозможно. Аналогично отвергаем 05, 06 и 07.

– Итак, вы пришли к выводу, – подвел итог Сомс, – что единственные возможные варианты, исключая симметрию право-лево, – это

0167 0257 0356 0347

Но 0257 – это немецкий вариант, а 0347 – итальянский. Остаются два, те самые, что выложил из спи…

Он внезапно вскочил и напрягся.

– Святые угодники!

– Что, Сомс?

– Мне только что пришло в голову, Ватсап, извините за каламбур, что эта спичка… – он помахал передо мной какой-то горелой спичкой… – это не редкая ранняя спичка Конгрива, как я воображал, но одна из бесшумных спичек Ирини. Когда подорвался его профессор химии, Ирини пришло в голову заменить бертолетову соль в головке спички двуокисью свинца.

– Ах. Это имеет значение, Сомс?