Саймон Сингх - Симпсоны и их математические секреты

По мере увеличения количества вариантов вероятность ничьей снижается на 1/N. Следовательно, вероятность ничьей в КНБ составляет 1/3, а в КНБЯСп – 1/5. Если кто-то хочет свести вероятность ничьей к минимуму, то самой большой и лучшей версией КНБ будет созданная художником-аниматором Дэвидом Лавлейсом КНБ-101. Она содержит 101 жест и 5050 возможных вариантов ходов, которые однозначно приведут к выигрышу. Например, трясина засасывает грифа, гриф съедает принцессу, принцесса усмиряет дракона, дракон поджигает робота и т. д. Вероятность ничьей составляет 1/101, что меньше одного процента.

Пожалуй, самое интересное математическое событие, произошедшее благодаря изучению игры КНБ, – это изобретение так называемых нетранзитивных игральных костей , сразу же вызвавших к себе повышенный интерес, поскольку на гранях каждой из них обозначены другие цифры:

Мы с вами можем выбрать по одной игральной кости и сыграть ими друг против друга. Выигрывает тот, чья кость покажет большее число. Так как вы думаете, какая кость лучшая?

В приведенных ниже таблицах показано, что происходит с тремя возможными парами костей: (А против Б), (Б против В), (В против А). Из первой таблицы следует, что кость А лучше, чем кость Б, поскольку она выигрывает в 20 из 36 возможных вариантов развития событий. Другими словами, кость А в среднем выигрывает в 56 процентах случаев.

А как насчет пары «кость Б против кости В»? Вторая таблица показывает, что кость Б лучше, так как она выигрывает в 56 процентах случаев.

В реальной жизни мы привыкли к транзитивным отношениям, которые означают, что если А лучше Б, а Б лучше В, то А должно быть лучше В. Тем не менее, бросив кость А против кости В, мы обнаружим, что кость В лучше, потому что она выигрывает в 56 процентах случаев, как показано в третьей таблице. Именно поэтому такие кости названы нетранзитивными: они не подчиняются обычному правилу транзитивности, так же как и ходы в КНБ. Как уже отмечалось выше, правила КНБ подчиняются нетрадиционной круговой иерархии, а не простой иерархии сверху вниз.

Каждая таблица показывает все возможные варианты развития событий, когда две игральные кости выбрасываются друг против друга. В первой таблице, отображающей ситуацию «А против Б», можно увидеть, что верхний левый квадрат отмечен как А и окрашен в светло-серый цвет, поскольку кость А выигрывает, если на ней выпадает число 3, а на кости Б – число 2. В свою очередь нижний правый квадрат отмечен как Б и имеет темно-серый цвет, так как кость Б выигрывает, если на ней выпадает число 9, а на кости А – число 7. С учетом всех возможных комбинаций можно сделать вывод, что кость А выигрывает в среднем в 56 процентах случаев в игре против кости Б.

Нетранзитивные отношения абсурдны и противоречат здравому смыслу, но именно поэтому они и приводят в восторг математиков, будь то авторы «Симпсонов», университетские профессора… или даже самый успешный инвестор в мире, а именно Уоррен Баффет, чистая стоимость активов которого оценивается примерно в 50 миллиардов долларов. В альбоме выпускников Школы Вудро Вильсона 1947 года под фотографией Баффета стоит весьма дальновидная подпись: «Любит математику; будущий фондовый брокер».

Баффет большой поклонник нетранзитивных игральных костей и часто предлагает людям сыграть с ним партию. Он без всяких объяснений вручает сопернику три нетранзитивные кости и просит первым сделать выбор. Сопернику кажется, будто это ставит его в более выгодное положение, поскольку у него есть шанс выбрать «лучшую» кость. Разумеется, лучшей кости просто не существует, и Баффет сознательно уступает первый ход, чтобы иметь возможность выбрать кость, более сильную по сравнению с той, на которую укажет соперник. Это не гарантирует Баффету победу, но существенно повышает ее вероятность.

Когда Уоррен Баффет решил провернуть этот трюк с Биллом Гейтсом, основатель Microsoft сразу же заподозрил неладное. Он достаточно долго изучал кости, а затем вежливо предложил Баффету сделать выбор первым.

В эпизоде «Игра до победного конца» (Dead Putting Society, сезон 2, эпизод 6; 1990 год) рассказывается о турнире по мини-гольфу, в финале которого Барт Симпсон играет против Тодда Фландерса, сына соседа Неда Фландерса. Ставки в игре очень высоки, поскольку отца проигравшего ждет незавидная участь: ему придется косить газон победителя в платье своей жены.

Во время напряженной перепалки Гомер и Нед, для того чтобы укрепить свои позиции, апеллировали к бесконечности:

Гомер.Завтра в это время ты наденешь высокие каблуки!

Нед.Нет, ты наденешь.

Гомер. Нет.

Нед.Наденешь.

Гомер: Нет.

Нед.Наденешь.

Гомер.Нет до бесконечности!

Нед.Наденешь до бесконечности плюс один!

Гомер. Ой!

Я спросил сценаристов, кто из них предложил идею этого диалога, но никто так и не вспомнил, что неудивительно, ведь сценарий был написан больше двадцати лет назад. Тем не менее все сошлись во мнении, что эта перепалка двух отцов нарушила весь процесс написания сценария, поскольку породила дискуссию о природе бесконечности. Так все же бесконечность плюс один больше бесконечности или нет? Данное утверждение имеет смысл или оно бессмысленно? Можно ли его доказать?

В ходе поиска ответов на эти вопросы сидевшие за столом математики упомянули имя Георга Кантора, родившегося в Санкт-Петербурге в 1845 году. Кантор был первым математиком, который действительно пытался осмыслить понятие бесконечности. Однако его объяснения носили исключительно технический характер, поэтому миссия интерпретировать результаты исследований Кантора была возложена на блестящего немецкого математика Давида Гильберта (1862–1943). Гильберт умел находить аналогии, которые делали идеи Кантора о бесконечности более удобоваримыми и доступными для понимания.