Саймон Сингх - Симпсоны и их математические секреты

Гипотеза Симпсона оказалась не чем иным, как гипотезой Страшилы, которая в любом случае ложная. Однако для семейства Симпсонов должно стать утешением то, что несколько важных (и верных) математических концепций носят их имя.

Например, парадокс Симпсона считается одним из самых непостижимых в математике. Он был изучен и популяризирован Эдвардом Симпсоном, который начал интересоваться статистикой в период работы в Блетчли-Парке, секретной штаб-квартире британского шифровального подразделения времен Второй мировой войны.

Одна из наиболее ярких иллюстраций парадокса Симпсона касается закона США о гражданских правах 1964 года – исторического документа, направленного на решение проблемы дискриминации. В частности, этот парадокс возникает в ходе тщательного анализа данных о результатах голосования республиканцев и демократов по поводу принятия закона в палате представителей США.

Демократы северных штатов США отдали за закон 94 процента голосов, тогда как республиканцы – всего 85 процентов. Следовательно, в северных штатах США за принятие закона проголосовало больше демократов, чем республиканцев.

В южных штатах за данный закон демократы отдали 7 процентов голосов, тогда как республиканцы – 0 процентов. То есть на юге США также проголосовало больше демократов, чем республиканцев.

Таким образом, напрашивается очевидный вывод: демократы продемонстрировали более активную поддержку Закона о гражданских правах, чем республиканцы. Однако если объединить данные по южным и северным штатам, получится, что за принятие закона проголосовали 80 процентов республиканцев и 61 процент демократов.

Другими словами, я утверждаю, что на севере и юге в отдельности демократы отдали больше голосов в поддержку закона, чем республиканцы, но в совокупности республиканцы опережают демократов! Как бы абсурдно это ни звучало, это бесспорный факт. В этом и состоит парадокс Симпсона.

Для того чтобы понять смысл данного парадокса, целесообразно проанализировать не проценты, а фактическое количество голосов. Демократы северных штатов отдали в поддержку закона 145 из 154 голосов (94 процента), тогда как республиканцы – 138 из 162 голосов (85 процентов). В южных штатов картина такая: демократы – 7 из 94 голосов (7 процентов), республиканцы – ноль из 10 голосов (0 процентов). Как уже было сказано, поддержка закона демократами на первый взгляд кажется более сильной, чем республиканцами, причем как на севере, так и на юге. Тем не менее в масштабах всей страны тенденция меняется на противоположную, поскольку за принятие закона проголосовали 152 из 248 демократов (61 процент) и 138 из 172 республиканцев (80 процентов).

Так как же нам объяснить этот пример парадокса Симпсона? Здесь есть четыре момента, которые проливают свет на загадку парадокса. Во-первых, сравнивая результаты голосования республиканцев и демократов, мы должны анализировать всю совокупность данных (в целом по стране). Это позволит прийти к заключению, что республиканцы поддержали Закон о гражданских правах более активно, чем демократы. Таким и должен быть окончательный вывод.

Во-вторых, хотя наша задача – проанализировать разницу между результатами голосования республиканцев и демократов, реально поражают различия между представителями северных и южных штатов независимо от того, к какой политической партии они принадлежат. В северных штатах США закон получил примерно 90-процентную поддержку, тогда как в южных она составила всего 7 процентов. Когда мы фокусируемся на одной переменной (например, демократы в сравнении с республиканцами), уделяя меньше внимания более важной переменной (например, север в сравнении с югом), то ее часто называют скрытой переменной .

В-третьих, во многих ситуациях проценты действительно имеет смысл использовать для сравнения, но в данном случае, начав с анализа одних только процентов, мы не приняли во внимание фактическое количество голосов, из-за чего не смогли оценить значимость определенных результатов. Например, 0 процентов голосов в пользу принятия закона, отданных республиканцами южных штатов, кажутся заслуживающими осуждения, но ведь южные штаты представлены всего 10 республиканцами; и если бы хоть один из них проголосовал за принятие закона, то поддержка южных республиканцев возросла бы с 0 до 10 процентов и превзошла бы поддержку демократов, составившую всего 7 процентов.

И последний, самый важный фрагмент этих данных – результаты голосования южных демократов. Ключевой момент здесь состоит в том, что в южных штатах поддержка закона была гораздо меньше, чем в северных, и южные штаты избирали преимущественно демократов, слабая поддержка закона которыми снизила средний показатель для всех представителей Демократической партии. Именно этим объясняется разворот тенденции в случае анализа всей совокупности данных.

Показательно, что результаты голосования за принятие Закона о гражданских правах 1964 года не относятся к числу редких статистических странностей. Подобный разворот тенденции в процессе интерпретации данных, который называют парадоксом Симпсона, создает путаницу во многих ситуациях, от спортивной статистики до медицинских данных.

Прежде чем закончить эту главу, хочу обратить ваше внимание на то, что в мире математики есть и другие Симпсоны. Например, имя Симпсон увековечено в так называемом правиле Симпсона – методе математического анализа, позволяющем рассчитать площадь под любой кривой. Этот метод назван по имени британского математика Томаса Симпсона (1710–1761), который в возрасте пятнадцати лет стал преподавателем математики в английском городе Нанитон. Восемь лет спустя, по данным историка Никколо Гуиччардини, он совершил одну из тех ошибок, которая может случиться с каждым из нас, и был «вынужден бежать в 1733 году в Дерби после того, как он или его помощник напугал девушку, одевшись как дьявол во время астрологического сеанса».

Безусловно, есть еще и теорема Карлсона-Симпсона, не требующая разъяснений; достаточно упомянуть о том, что она содержит принципы раскрашивания, о которых идет речь в теореме Хейлса-Джюитта, и используется в доказательстве Фюрстенберга-Кацнельсона. Но я уверен, что мне нет необходимости рассказывать вам об этом.

И наконец, не стоит забывать и о теореме Барта [40].

Шутка 1

Вопрос:Почему программисты путают Хеллоуин с Рождеством?

Ответ:Потому что oct. 31 = dec. 25. (Восьмеричное (octal) число 31 равно десятичному (decimal) числу 25.)