Саймон Сингх - Симпсоны и их математические секреты

Авторы работы утверждали, что защитник, который идет на преднамеренное столкновение с нападающим вне штрафной площадки, вносит положительный вклад в игру своей команды, предотвращая гол, однако у этого вклада есть и отрицательный аспект, поскольку данного игрока удалят с поля и он не сможет играть до конца матча. Если инцидент происходит в последнюю минуту матча, то положительный вклад перевешивает отрицательный, потому что игрока удаляют с поля перед самым окончанием матча. Однако если инцидент имеет место в первую минуту матча, то отрицательный вклад превосходит положительный, так как в команде остается всего десять игроков почти на весь матч. Общее воздействие в таких крайних случаях соответствует здравому смыслу, но что происходит, если возможность предотвратить гол посредством преднамеренного столкновения появляется посредине матча? Стоит ли идти на такой шаг?

Профессор Риддер и его коллеги использовали математический подход для определения точки перехода, или того момента матча, после которого удаление с поля становится целесообразным, если подразумевает шанс предотвратить гол.

Если исходить из предположения, что команды хорошо подобраны и нападающий почти наверняка забьет гол, тогда целесообразно пойти на столкновение в любое время после шестнадцатой минуты матча продолжительностью девяносто минут. Если вероятность гола составляет 60 процентов, тогда защитнику следует подождать до сорок восьмой минуты матча, и только потом идти на столкновение с нападающим. Если вероятность гола всего 30 процентов, то защитнику необходимо подождать до семьдесят первой минуты матча, прежде чем делать свое грязное дело. Это не самый достойный способ применения математики в спорте, но все же данный результат можно считать полезным.

e iπ + 1 = 0

Тождество Эйлера примечательно тем, что оно объединяет пять фундаментальных математических констант: 0, 1, π, e и i . Наше краткое объяснение поможет пролить свет на то, что значит возвести e в мнимую степень, что, в свою очередь, позволит показать, почему тождество верно. Но для этого необходимо иметь общее представление о некоторых специальных математических понятиях, таких как тригонометрические функции, радианы и мнимые числа.

Начнем с ряда Тейлора, который позволяет представить любую функцию в виде суммы бесконечного числа членов ряда. Если вы хотите больше узнать о построении ряда Тейлора, вам придется изучить этот вопрос самостоятельно, но для наших целей достаточно того, что функцию e x можно представить в следующем виде:

Здесь x может иметь любое значение, поэтому мы можем подставить ix вместо x , где i ² = −1. Таким образом, мы получим следующий ряд:

Далее сгруппируем члены ряда в зависимости от того, есть ли в них i или нет:

В качестве на первый взгляд неуместного отступления можно также найти пару рядов Тейлора, представляющих функции синуса и косинуса, что дает следующий результат:

Следовательно, мы можем записать e ix через sin x и cos x :

e ix = cos x + i sin x

В формуле Эйлера присутствует e i π, и теперь мы можем подставить π вместо x :

e i π= cos π + i sin π

В данном контексте π – это угловой размер в радианах, так что 360° = 2π радиан. Стало быть, cos π = −1, а sin π = 0. Это означает, что:

e i π= −1

Следовательно,

e i π+ 1 = 0

Профессор Кит Девлин, британский математик из Стэнфордского университета и автор блога Devlin’s Angle («Угол Девлина»), придерживается такого мнения: «Как сонет Шекспира схватывает саму суть любви или картина показывает внутреннюю красоту человека, так тождество Эйлера проникает в самые глубины существования».

В беседе с доктором Сарой Гринволд из Аппалачского университета Кен Килер рассказал следующую историю, связанную с его отцом Мартином Килером, которому было присуще интуитивное понимание математики:

Самое большое влияние на меня оказал отец, который был врачом… Он изучал высшую математику только на первом курсе, но я помню, как однажды спросил его, чему равна сумма квадратов первых n чисел, и он за несколько минут смог вывести формулу: n ³/3 + n ²/2 + n /6.

Что меня до сих пор удивляет, так это то, что он сделал это не посредством геометрического (как обычно выводят сумму первых n целых чисел) или индуктивного доказательства. Он предположил, что эта формула должна представлять собой кубический многочлен с неизвестными коэффициентами, а затем определил эти коэффициенты, решив системы из четырех линейных уравнений, выведенных путем вычисления первых четырех сумм квадратов. (И он решил их вручную, без определителей.) Когда я спросил его, как он понял, что эта формула должна представлять собой кубический многочлен, он сказал: «А чем еще она может быть?»

Обычно мы представляем себе фракталы как структуры, состоящие из самоподобных структур в любом масштабе. Другими словами, общая структура объекта сохраняется, когда мы увеличиваем или уменьшаем его масштаб. Как отметил первооткрыватель фракталов Бенуа Мандельброт, такие самоподобные структуры можно найти в природе: «На примере цветной капусты видно, что объект может состоять из множества частей, каждая из которых подобна целому, но имеет меньший размер. Многие растения обладают таким свойством. Облако представляет собой нагромождение форм, напоминающих облака. Приблизившись к облаку, вы увидите не что-то однородное, а такие же неоднородные структуры, только в меньшем масштабе».

Фракталы также известны тем, что имеют дробную (фрактальную) размерность. Для того чтобы получить представление о том, что это такое, проанализируем конкретный фрактальный объект, а именно треугольник Серпинского , который можно построить следующим образом.

Сначала берем обычный равносторонний треугольник и вырезаем из него центральный треугольник, что приведет к образованию первой из четырех фигур с треугольниками, показанных на рисунке ниже. Эта фигура состоит из трех треугольников, в каждом из которых тоже удаляем центральный треугольник, и в результате получаем вторую из четырех фигур. Затем центральные треугольники снова нужно вырезать, что образует третью фигуру с треугольниками. В случае бесконечного повторения этой процедуры будет построена четвертая фигура, которая и является треугольником Серпинского.