Жюль Пуанкаре - Теорема века. Мир с точки зрения математики

То же самое относится к падению тел. Мне не к чему было бы давать название «свободного падения» падению, совершающемуся согласно с законами Галилея, если бы я в то же время не знал, что в известных условиях падение будет, вероятно, свободно или почти свободно. Итак, это – закон, который может быть верен или неверен, но который уже не сводится к условному соглашению.

Предположим, что астрономы открыли, что небесные тела не подчиняются в точности закону Ньютона. Тогда у них будет выбор между двумя точками зрения: они могут сказать или что тяготение не в точности обратно пропорционально квадрату расстояния, или что небесные тела, кроме тяготения, подчинены еще другой силе, имеющей отличную от него природу.

В этом втором случае закон Ньютона будет рассматриваться как определение тяготения. Это будет точка зрения номинализма. Выбор между двумя точками зрения остается свободным и делается по соображениям удобства, хотя чаще всего эти соображения бывают столь влиятельными, что свобода выбора на практике почти исчезает.

Мы можем разложить предложение: (1) «небесные тела подчиняются закону Ньютона» на два других: (2) «тяготение следует закону Ньютона»; (3) «тяготение есть единственная сила, действующая на небесные тела». В таком случае предложение (2) есть простое определение и оно ускользает от опытной проверки, но тогда можно будет подвергнуть проверке предложение (3). Это, конечно, необходимо, ибо вытекающее из него предложение (1) предсказывает голые факты, допускающие проверку.

Благодаря этому приему в духе неосознанного номинализма ученые поставили выше законов то, что они называют принципами. Когда некоторый закон получил достаточное опытное подтверждение, мы можем занять по отношению к нему одну из двух позиций: или подвергать его непрерывным проверкам и пересмотрам (которые в конце концов несомненно докажут, что он является лишь приближенным), или же возвысить его в ранг принципов, принимая при этом такие соглашения, чтобы предложение было несомненно истинным. Это делается всегда одним и тем же приемом. Первоначальный закон выражал соотношение между двумя голыми фактами А и В ; между этими двумя голыми фактами вводится промежуточный отвлеченный факт С , более или менее фиктивный (в предыдущем примере эта роль принадлежит неуловимой сущности тяготения). Тогда мы имеем соотношение между А и С , которое можем считать строго точным и которое есть принцип ; и другое – между С и В , которое продолжает существовать как закон , могущий быть пересмотренным.

Принцип, который с этих пор как бы кристаллизовался, уже не подчинен опытной проверке. Он ни верен, ни неверен; он удобен.

В таком образе действий часто находят большую выгоду; но ясно, что если бы все законы были преобразованы в принципы, то от науки не осталось бы ничего . Каждый закон может быть разложен на принцип и закон; но из предыдущего очевидно, что законы продолжают существовать всегда, как бы далеко ни проводить это разложение.

Итак, номинализм имеет границы; и можно этого не осознавать, если понимать в буквальном смысле утверждения Леруа.

Беглый обзор наук позволит нам лучше уяснить себе, каковы эти границы. Точка зрения номинализма оправдывается лишь тогда, когда она удобна. Когда это бывает?

Опыт знакомит нас с отношениями между телами; это – голый факт. Эти отношения чрезвычайно сложны. Вместо того чтобы прямо рассматривать отношение между телом А и телом В , мы вводим между ними промежуточный элемент – пространство – и рассматриваем три различные отношения: отношение между телом А и пространственным образом А’ , отношение между телом В и пространственным образом В’ , отношение двух пространственных образов А и В’ между собой. Почему этот окольный путь является выгодным? Потому что отношение между А и В было сложно, но мало отличалось от отношения между А’ и В’ , отличающегося простотой; следовательно, это сложное отношение может быть заменено простым отношением между А’ и В’ и двумя другими отношениями, из которых мы узнаем, что разности между А и А’ , с одной стороны, и между В и В’ , с другой, очень малы. Например, если А и В будут два естественных твердых тела, которые перемещаются, слегка деформируясь, то мы будем рассматривать два неизменных подвижных образа А’ и В’ . Законы относительных перемещений этих образов А’ и В’ будут весьма просты; это будут законы геометрии. А затем мы добавим, что тело A , которое всегда весьма мало отлично от A’ , расширяется под действием тепла и сгибается в силу упругости. Для нашего ума будет сравнительно легко изучить эти расширения и сгибания именно вследствие того, что они весьма малы. Но подумайте, на какое усложнение речи пришлось бы нам пойти, если бы мы захотели включить в одно изложение перемещение твердого тела, его расширение и его сгибание?

Отношение между А и В было грубым законом; оно разложено. Мы имеем теперь два закона, выражающих отношения между А и А’, В и В’ , и принцип, выражающий отношение между А’ и В’ . Совокупность принципов этого рода называют геометрией.

Еще два замечания. Мы имеем отношение между двумя телами А и В , которое мы заменили отношением между двумя образами А’ и В’ , но это самое отношение между теми же образами А’ и В’ может быть с выгодой заменено отношением между двумя другими телами А’ и В’ , совершенно отличающимися от A и В . И это может быть выполнено множеством способов. Если бы принципы и геометрия не были изобретены (invente), то после изучения связи между А и В нужно было бы ab ovo [22] С самого начала ( лат .). возобновлять изучение связи между А’ и В’ . Вот почему столь драгоценна геометрия. Геометрическое отношение может с выгодою заменить отношение, которое, будучи рассматриваемо в грубом виде, представляется как механическое; оно не может заменить и другое, которое могло бы рассматриваться как оптическое, и т. д.

Но пусть не говорят нам: это доказывает, что геометрия – опытная наука; отделяя ее принципы от законов, из которых они извлечены, вы искусственно отделяете ее от наук, которые ее произвели. Другие науки также имеют принципы, но это не устраняет необходимости называть их экспериментальными.

Надо признаться, что трудно было бы не сделать этого разделения, которое выглядит искусственным. Известно, какую роль сыграла кинематика твердых тел в генезисе геометрии; но следует ли отсюда, что геометрия есть только ветвь экспериментальной кинематики? И законы прямолинейного распространения света также содействовали формированию ее принципов. Следует ли поэтому рассматривать геометрию в одно и то же время как ветвь кинематики и как ветвь оптики? Я напомню еще, что наше евклидово пространство, которое, собственно, является предметом геометрии, было выбрано по соображениям удобства из некоторого числа типов, которые ранее существовали в нашем сознании и которым присвоено название групп.