Стивен Строгац - Бесконечная сила [Как математический анализ раскрывает тайны вселенной]

Именно через Мерсенна и сцепились Ферма с Декартом [160]. Среди математиков живший в Париже Мерсенн был непререкаемым авторитетом. Во времена, предшествовавшие интернету, он связывал людей, ведя обширнейшую переписку. Однако ему в какой-то степени не хватало такта и осмотрительности. У него был талант разжигать конфликты: например, Мерсенн показывал полученные им личные письма и раскрывал конфиденциальные рукописи до их публикации. Вокруг него сложился круг математиков – не совсем, конечно, уровня Ферма или Декарта, но тем не менее достаточно сильных, которые, по-видимому, имели зуб на Декарта. Они всегда насмехались над ним и его грандиозным «Рассуждением о методе».

Поэтому, когда Декарт услышал через Мерсенна, что некий тип в Тулузе – какой-то любитель по имени Ферма – утверждает, что разработал метод аналитической геометрии на десять лет раньше него и что тот же самый любитель (да кто он вообще такой?!) поставил под сомнение его теорию оптики, ученый счел, что ему в очередной раз строят козни. В последующие годы он яростно сражался с Ферма и пытался погубить его репутацию [161]. В конце концов, Декарту было что терять. В «Рассуждении» он утверждал, что его аналитический метод – единственный истинный путь к знанию. И если Ферма мог превзойти его, даже не пользуясь его методом, то весь его проект оказывался под угрозой.

Декарт безжалостно чернил Ферма и в какой-то степени в этом преуспел. Работы Ферма до 1679 года никогда должным образом не публиковались. Его результаты распространялись устно или через письма, но по-настоящему были оценены только спустя долгое время после смерти. Сам Декарт добился успеха. Его «Рассуждение» стало знаменитым, и следующее поколение изучало аналитическую геометрию по нему. Даже сегодня школьники знают о декартовых координатах, хотя первым их придумал Ферма [162].

Споры между Ферма и Декартом велись в течение первой половины XVII века, когда математики мечтали найти метод анализа для геометрии [163]. Здесь слово «анализ» (как и в аналитической геометрии) следует понимать в архаическом смысле – как средство получения результатов, а не их доказательства. В то время было широко распространено подозрение, что древние располагали таким методом открытий, но намеренно скрывали его. Декарт, например, утверждал, что древние греки «обладали знаниями видов математики, весьма отличных от тех, что распространены в наше время… но я считаю, что эти авторы потом с каким-то низким коварством, поистине неблаговидным, скрыли это знание» [164].

Казалось, что символьная алгебра могла быть таким утраченным методом. Однако в более консервативных кругах она натолкнулась на реакционный скептицизм. Когда поколение спустя Ньютон сказал: «Алгебра – это анализ для неумех в математике» [165], это было тонко завуалированное оскорбление Декарта, яркого примера «неумех», опирающихся на алгебру как на костыль при решении задач.

При такой атаке Ньютон придерживался традиционного различия между анализом и синтезом. При анализе человек решает задачу с конца, как будто ответ уже получен, а затем возвращается к началу в надежде найти путь к сделанным предположениям. Примерно так действуют школьники, когда, отталкиваясь от ответа, пытаются выяснить, как к нему добраться.

Синтез же идет другим путем. Он начинается с данных, а затем вы, шагая в темноте, пробуя разные варианты, каким-то способом шаг за шагом логически продвигаетесь к решению и в итоге получаете желаемый результат. Как правило, синтез намного сложнее анализа, поскольку вы никогда не знаете, как собираетесь добраться до решения, пока этого не сделаете.

Древние греки считали синтез более логичной и убедительной силой, нежели анализ. Они рассматривали синтез как единственный действенный способ доказать результат; анализ же был практическим способом найти результат. Если вам требовалось строгое доказательство, вы должны были использовать синтез. Вот почему Архимед применял свой аналитический метод уравновешивания форм на качелях для поиска теорем, но затем переключался на синтетический метод исчерпывания, чтобы доказать их.

И хотя Ньютон смотрел на алгебраический анализ свысока, тем не менее в главе 7мы увидим, что он использовал его с грандиозной эффективностью. Однако не Ньютон был его первым мастером, а Ферма. Изучать образ мышления Ферма очень интересно, потому что он элегантен и доступен, но в то же время чужд и удивителен. Его методы изучения кривых больше не применяются, поскольку в современных учебниках их вытеснили более совершенные способы.

Оптимизация багажной полки

Зачаточная версия дифференциального исчисления Ферма выросла из применения его алгебраических методов к задачам оптимизации [166]. Оптимизация – это изучение способов сделать что-то наилучшим образом. В зависимости от контекста наилучший может означать быстрейший, наибольший, самый дешевый, самый выгодный, наиболее эффективный или какое-то иное понятие оптимальности. Чтобы проиллюстрировать свои идеи самым простым способом, Ферма придумал несколько задач, очень похожих на те упражнения, которые мы, преподаватели математики, до сих пор задаем нашим ученикам. Так что они могут винить напрямую его.

Одна из этих задач, приспособленная к современным реалиям, выглядит примерно так. Представьте, что вы хотите сделать коробку, в которой помещается как можно больше вещей, при соблюдении двух ограничений. Во-первых, коробка должна быть квадратной в сечении, то есть ее ширина и длина должны быть по x сантиметров. Во-вторых, она должна помещаться на верхней багажной полке определенной авиакомпании. Согласно ее правилам перевозки багажа, сумма трех измерений любого предмета багажа (в нашем случае – сумма ширины, длины и высоты коробки) не должна превышать 45 дюймов. Какой выбор параметра x даст коробку наибольшего объема?

Один из способов решить задачу – использовать здравый смысл. Попробуйте несколько вариантов. Скажем, пусть длина и ширина коробки будут по 10 дюймов. Тогда на высоту останется 25 дюймов, потому что 10 + 10 + 25 = 45. Объем коробки с такими размерами составит 10 × 10 × 25 = 2500 кубических дюймов. Но, может быть, коробка кубической формы будет лучше? Поскольку у куба длина, ширина и высота одинаковы, то коробка должна иметь размеры 15 × 15 × 15 дюймов, что даст объем 3375 кубических дюймов. Если вы повозитесь еще с некоторыми другими размерами, то придете к выводу, что именно куб – оптимальный выбор для формы коробки. И это действительно так.

Эта задача сама по себе не сложная, но она позволяет показать, как именно Ферма рассуждал в ходе ее решения, так как его подход привел к значительно более серьезным вещам.