Стивен Строгац - Бесконечная сила [Как математический анализ раскрывает тайны вселенной]

На этом рисунке отражена идея, к которой он пришел. Здесь только восемь прямоугольных полос, но вы должны попробовать представить такую же картинку с миллионами и миллиардами более тонких прямоугольников или, еще лучше, бесконечно много бесконечно тонких прямоугольников. К сожалению, это трудно нарисовать или визуализировать, поэтому-то я и использую только восемь прямоугольников.

Для простоты предположим, что у всех прямоугольников одинаковая ширина. Назовем ее Δ x . Высоты прямоугольников равны y 1, y 2, …, y 8. Тогда общая площадь всех аппроксимирующих прямоугольников составит

y 1Δ x + y 2Δ x + … + y 8Δ x .

Такую сумму восьми чисел было бы удобно «телескопировать», если бы мы нашли какие-нибудь волшебные числа A 0, A 1, A 2, …, A 8, разности которых дают площади прямоугольников

y 1Δ x = A 1 – A 0,

y 2Δ x = A 2 – A 1,

y 3Δ x = A 3 – A 2,

и так далее, вплоть до y 8Δ x = A 8 – A 7. Тогда общая площадь всех прямоугольников телескопически сложилась бы так:

y 1Δ x + y 2Δ x + … + y 8Δ x = ( A 1 – A 0) + ( A 2 – A 1) + … + ( A 8 – A 7) = A 8 – A 0.

А теперь подумайте, что будет, если мы выполним предельный переход к бесконечно узким полоскам. Их ширина Δ x превратится в дифференциал dx . Их переменные высоты y 1, y 2, …, y 8станут y ( x ) – функцией, которая определяет высоту бесконечно узкого прямоугольника, стоящего над точкой x . Сумма бесконечного числа таких прямоугольников станет интегралом ∫ y ( x ) dx . При этом, как и в предыдущих случаях телескопирования, сумма A 8 – A 0превращается в A ( b ) – A ( a ), где a и b – значения x на левом и правом краю области. Вариант телескопирования для бесконечно малых величин дает нам точную площадь под кривой:

Но как найти эту волшебную функцию A ( x ), которая сделает все это возможным? Что ж, давайте посмотрим на все вышеописанные уравнения вида y 1Δ x = A 1 – A 0. Они превращаются в

y ( x ) dx = dA ,

поскольку прямоугольники становятся бесконечно тонкими. Если записать тот же результат в терминах производных, а не дифференциалов, поделив обе части на dx , то мы получим

Вот так мы находим аналоги волшебных чисел A 0, A 1, A 2, …, A 8, вызывающих телескопирование. В пределе для бесконечно тонких полосок они определяются неизвестной функцией A ( x ), производная которой – как раз наша функция y ( x ).

Все это – обратная задача и основная теорема анализа в версии Лейбница. Он писал: «Поиск площадей фигур сводится к следующему: по заданному ряду найти суммы или (для лучшего объяснения) по заданному ряду найти другой, разности которого совпадают с членами данного ряда» [248]. Таким образом, разности и телескопические суммы привели Лейбница к дифференциалам и интегралам, а от них – к основной теореме, равно как флюксии и расширяющиеся площади привели Ньютона к тому же тайному источнику.

Хотя дифференциалы – это измышления разума, с момента их изобретения они весьма глубоко повлияли на наш мир, общество и нашу жизнь. В качестве современного примера рассмотрим вспомогательную роль, которую они сыграли в понимании и лечении ВИЧ, вируса иммунодефицита человека [249].

В 1980-х годах десятки тысяч жизней в США и сотни тысяч по всему миру стала уносить загадочная болезнь. Никто не знал, что это, откуда она взялась и что ее вызывает, но ее воздействие было явным – она настолько ослабляла иммунную систему больных, что они оказывались уязвимы для редких видов рака, пневмонии и оппортунистических инфекций [250]. Смерть от болезни была медленной, мучительной и уродливой. Врачи назвали болезнь синдромом приобретенного иммунодефицита, или СПИДом. Больные и врачи были в отчаянии. Никакого лекарства не просматривалось.

Первые исследования показали, что виноват ретровирус. Механизм его действия был коварен: вирус атаковал и инфицировал белые кровяные тельца, называемые T-хелперами, – ключевой компонент иммунной системы. Оказавшись внутри, вирус захватывал генетический аппарат клетки и заставлял его создавать новые вирусы. Затем эти новые вирусные частицы выходили из клетки, попадали в кровоток и прочие жидкости организма и искали новые клетки для заражения. Иммунная система реагировала на это вторжение попыткой вычистить вирусные частицы из крови и убить как можно больше зараженных T-лимфоцитов, но при этом убивала важную часть самой себя.

Первый антиретровирусный препарат для лечения ВИЧ появился в 1987 году. Хотя он и замедлял ВИЧ, мешая процессу вторжения, он не демонстрировал ожидаемой эффективности и вирус часто приобретал устойчивость к нему. В 1994 году появился другой класс препаратов – ингибиторы протеазы. Они препятствовали ВИЧ, внедряясь во вновь образованные вирусные частицы, мешая их созреванию и превращая их в незаразные. Хотя ингибиторы протеазы также не были панацеей, они оказались настоящей находкой.

Вскоре после появления ингибиторов протеазы группа исследователей под руководством доктора Дэвида Хо (ранее учился физике в Калифорнийском технологическом институте, поэтому, вероятно, хорошо знаком с анализом) и специалиста по математической иммунологии Алана Перельсона провела исследование, которое изменило взгляды врачей на ВИЧ и произвело настоящую революцию в методах лечения болезни. До работы Хо и Перельсона было известно, что нелеченая ВИЧ-инфекция, как правило, проходит три стадии [251]: первичная острая стадия продолжительностью несколько недель, хроническая и парадоксально бессимптомная стадия длительностью до десяти лет и терминальная стадия СПИДа.

На первой стадии вскоре после заражения ВИЧ у человека появляются симптомы, сходные с гриппозными: лихорадка, сыпь, головная боль, а количество T-хелперов (также известных как CD4-клетки) в крови резко падает. Нормальное количество T-лимфоцитов составляет около 1000 клеток на кубический миллиметр крови; после первичного заражения ВИЧ их число падает до нескольких сотен. Поскольку T-лимфоциты помогают организму бороться с инфекцией, их уменьшение серьезно ослабляет иммунную систему. Между тем количество вирусных частиц в крови (известное как вирусная нагрузка) резко возрастает, а затем, когда иммунная система начинает борьбу с ВИЧ-инфекцией, падает. Гриппозные симптомы пропадают, больному становится лучше.