М. Фартушняк - Репетитор по математике. Алгебра

Примеры.

(a+b) 4=a 4+4a 3b+6a 2b 2+4ab 3+b 4

(a+b) 6=a 6+6a 5b+15a 4b 2+20a 3b 3+15a 2b 4+6ab 5+b 6

Разложение многочлена на множители.

1 способ. Вынесение общего множителя за скобки.

Если все члены многочлена содержат в качестве множителя одно и то же выражение, его можно «вынести за скобки».

С этим способом мы косвенно ознакомились раньше. Приведём только пару примеров.

Примеры.

4x 2y 3+8xy 2z=4xy 2(xy+2z)

9a 2b 2—3ab 2c+12abc 2=3ab (3ab-bc+4c 2)

2 способ. Способ группировки.

Многочлен разбивается на несколько групп, в каждой из групп выносится за скобки общий множитель, после чего в скобках оказывается одинаковое выражение, которое в свою очередь выносится за скобки.

Примеры.

5x 3+10x 2+3x+6=5x 2(x+2) +3 (x+2) = (x+2) (5x 2+3)

20x 3—12y 3+8xy 2—30x 2y=20x 3—30x 2y+8xy 2—12y 3=10x 2(2x-3y) +

4y 2(2x-3y) = (2x-3y) (10x 2+4y 2)

При этом способе важно иметь в виду, что выражение a-b можно всегда представить в виде – (b-a). Поэтому, если множители отличаются только знаками, их всегда можно сделать одинаковыми.

Например:

6ab-2cb+9cd-27ad=2b (3a-c) +9d (c-3a) =2b (3a-c) -9d (3a-c) =

(3a-c) (2b-9d)

3 способ. С помощью формул сокращённого умножения.

Примеры.

9x 2—1= (3x-1) (3x+1)

4x 2+4x+1= (2x+1) 2

4 способ. Разложение квадратного трёхчлена ax 2+bx+c=

=a (x-x 1) (x-x 2)

где x 1и x 2-корни квадратного уравнения ax 2+bx+c=0

О решении квадратных уравнений мы поговорим позже.

А сейчас просто проиллюстрируем данный способ

одним примером.

Пример.

2x 2+13x-24=2 (x-3/2) (x+8) = (2x-3) (x+8)

Сначала решается квадратное уравнение

2x 2+13x -24 = 0 и находятся его корни x 1=3/2, x 2=-8

Потом по формуле делается разложение.

Как правило, при разложении многочлена приходится комбинировать вышеперечисленными способами, но начинать преобразования, если это возможно, с вынесения общего множителя за скобки.

Пример 1. Разложить на множители многочлен 36x 3+24x+4x

Решение: Вынесем общий множитель 4x за скобки.

36x 3+24x 2+4x=4x (9x 2+6x+1)

Трёхчлен 9x 2+6x+1 можно представить в виде квадрата двучлена:

9x 2+6x+1= (3x+1) 2

Таким образом, 36x 3+24x 2+4x=4x (3x+1) 2

Пример 2. Разложить на множители многочлен xy 3—3y 3+xy 2z-3y 2z

Решение: Вынесем за скобки общий множитель y 2:

xy 3—3y 3+xy 2z-3y 2z=y 2(xy-3y+xz-3z)

Сгруппировав первый член со вторым и третий с четвёртым, разложим на множители многочлен: xy-3y+xz-3z

xy-3y+xz-3z=y (x-3) +z (x-3) = (x-3) (y+z)

Окончательно получим:

xy 3—3y 3+xy 2z-3y 2z=y 2(x-3) (y+z)

Пример 3. Разложить на множители многочлен: a 2—4ab-9+4b 2

Решение: Сгруппируем первый, второй и четвёртый члены многочлена. Полученный трёхчлен можно представить в виде квадрата разности.

(a 2—4ab+4b 2) -9= (a-2b) 2—9

Полученное выражение не что иное, как разность квадратов:

(a-2b) 2—9= (a-2b) 2—3 2= (a-2b-3) (a-2b+3)

Таким образом, a 2—4ab-9+4b 2= (a-2b-3) (a-2b+3).

Понятие уравнения является одним из основных понятий алгебры. От того как вы освоите решение уравнений зависит ваше дальнейшее продвижение по усвоению более сложного материала. Поэтому отнеситесь к этой теме с должной серьёзностью.

Итак, равенство, содержащее переменную, называется уравнением.Корни уравнения – значение переменных, обращающие уравнение в верное равенство.

Уравнение может иметь один, два, три и т.д корня, бесчисленное множество корней или не иметь их вовсе.

Упомянутое выше уравнение имеет один корень.

Уравнение (6-x) (12-x) (3+x) = 0 имеет три корня: 6, 12, -3. Действительно, каждое из этих чисел обращает в нуль один из множителей произведения (6-x) (12-x) (3+x) и само произведение соответственно.

Текст предоставлен ООО «ЛитРес».

Прочитайте эту книгу целиком, на ЛитРес.

Безопасно оплатить книгу можно банковской картой Visa, MasterCard, Maestro, со счета мобильного телефона, с платежного терминала, в салоне МТС или Связной, через PayPal, WebMoney, Яндекс.Деньги, QIWI Кошелек, бонусными картами или другим удобным Вам способом.