Владимир Дьяконов - Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

> f(x) = х; solve(%, х);

Результат выглядит необычно — помимо довольно очевидного корня х=0 значение другого корня получено в виде специальной функции Ламберта. Впрочем, нетрудно найти и его численное значение:

> evalf(%);

К нему и стремятся промежуточные результаты решения. Однако как сделать процесс решения достаточно наглядным? Обычно для этого строят графики двух зависимостей — прямой х и кривой f(x) — и наносят на них ступенчатую линии перемещения точки х_k. Специальной функции для графиков подобного рода Maple не имеет. Однако можно составить специальную процедуру для их построения. Ее листинг, взятый из примера, описанного в пакете обучения системе Maple — PowerTools —представлен на рис. 8.60.

Рис. 8.60. Иллюстрация процесса итераций

На рис. 8.60 представлено задание процедуры rec_plot( f1, а, b, х0).

Параметрами этой процедуры являются: f1 — функция f(x): а и b — пределы изменения х при построении графика; х0 — значение х, с которого начинаются итерации. Используя эту процедуру можно наблюдать график, иллюстрирующий итерационный процесс. Он представлен на рис. 8.60 снизу.

Нетрудно заметить, что для данной функции процесс итераций, хотя и не очень быстро, но уверенно сходится к точке пересечения прямой у=х и кривой y=f(x). Вы можете, меняя зависимость f(x), провести исследования сходимости уравнений x=f(x).

Теперь займемся довольно рискованным экспериментом — наблюдением ньютоновских итераций с их представлением на комплексной плоскости. На рис. 8.61 задана функция f(z) комплексного аргумента. Проследить за поведением этой функции на комплексной плоскости в ходе ньютоновских итераций в соответствии с выражением z=f(z) позволяет графическая функция complexplot3d из пакета plots.

Рис. 8.61. Наблюдение за процессом ньютоновских итераций в трехмерном пространстве

Наблюдаемая картина весьма необычна и свидетельствует о далеко не простом ходе итерационного процесса. А рискованной эта задача названа потому, что в предшествующих версиях Maple она нередко вела к «зависанию» компьютера.

Средства Maple 9.5 весьма удобны для визуализации геометрических построений.

Примером наглядного геометрического представления математических понятий является визуализация известной теоремы Пифагора (рис. 8.62).

В этом примере используется функция построения многоугольников. Наглядность построений усиливается выбором разной цветовой окраски треугольников и квадрата.

Рис. 8.62. Графическая иллюстрация к теореме Пифагора

В ряде геометрических построений нужно строить касательную и перпендикуляр к кривой, отображающей произвольную функцию f(x) в заданной точке х=а. Рисунок 8.63 поясняет, как это можно сделать. Линии касательной Т(х) и перпендикуляра N(x) определены аналитически через производную в заданной точке.

Рис. 8.63. Построение касательной и перпендикуляра к заданной точке графика функции f(x)

Во избежание геометрических искажений положения касательной и перпендикуляра при построении графика функцией plot надо использовать параметр scaling=constrained.

Часто возникает необходимость в геометрическом представлении определенных интегралов в виде алгебраической суммы площадей, ограниченных кривой подынтегральной функции f(x), осью абсцисс х и вертикалями х=a и х=b (пределами интегрирования). При этом желательно обеспечение закраски верхней и нижней (отрицательной и положительной) площадей разными цветами, например, зеленым для верхней площади и красным для нижней. Как известно, численное значение определенного интеграла есть разность этих площадей.

К сожалению, в Maple 8 нет встроенной функции, явно дающей такое построение. Однако ее несложно создать. На рис. 8.64 представлена процедура a_plot, решающая эту задачу. Параметрами процедуры являются интегрируемая функция f(x) (заданная как функция пользователя), пределы интегрирования а и b и пределы слева am и справа bm, задающие область построения графика f(x).

Рис. 8.64. Графическое представление определенного интеграла

Рисунок 8.64 дает прекрасное представление о сущности интегрирования для определенного интеграла. Приведенную на этом рисунке процедуру можно использовать для подготовки эффектных уроков по интегрированию разных функций.

Анимация позволяет повысить наглядность некоторых математических операций. Обычно для этого используются функции animate и animate3d пакета расширения plots, загружаемые командой with(plots). Пример этого представлен на рис. 8.65. Этот документ внизу показывает кадр анимированного процесса улучшения приближения синусоидальной функции рядом с различным числом членов (и порядком последнего члена ряда).

Рис. 8.65. Анимационная демонстрация приближения синусоиды рядом с меняющимся числом членов

Результирующая картина, показанная на рис. 8.65, показывает как приближаемую синусоидальную функцию, так и графики всех рядов, которые последовательно выводятся в ходе анимации.

Анимирование изображений является одним из самых мощных средств визуализации результатов моделирования тех или иных зависимостей или явлений. Порою изменение во времени одного из параметров зависимости дает наглядное представление о его математической или физической сути.