Владимир Дьяконов - Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

Рис. 8.70. Примеры смены координат и масштабирования графиков

В первом примере рис. 8.70 используется функция xyexchange(p) меняющая оси у графического объекта р. Во втором случае используется функция xscale(k,p) масштабирующая объект по оси х в k раз. А в третьем примере используется функция сдвига объекта xshift(xs,p) на расстояние xs и масштабирования zscale(k,p) в k раз по оси z. О других функциях подпакета статистической графики можно судить по названиям его функций.

В пакет plots была введена новая функция построения стрелок в пространстве arrow. Она задается в виде:

arrow(u,[v,]opts)

или

arrow(U,opts)

Построение стрелок задается по одномерными массивами координат начала стрелок и их направления u и v или двумерным массивом U, которые могут быть представлены векторами, списками или множествами. Вид стрелок задается параметром opts, который может иметь значения shape, length, width, head_width, head_length или plane и задает вид стрелок (форму, длину, ширину и т.д.). Детали задания параметров можно найти в справке по данной функции. Рис. 8.71 дает наглядное представление о ее возможностях.

Рис. 8.71. Построение стрелок с помощью функции arrow

Maple 9.5 позволяет строить достаточно сложные комбинированные графики, содержащие различные графические и текстовые объекты. Пример построения такого графика представлен на рис. 8.72.

Рис. 8.72. Пример построения сложного объекта, состоящего из 8 графических и текстовых объектов

Представленный на рис. 8.72 объект задает построение восьми графических объектов от р1 до р8. Среди них цилиндр, две пересекающие его плоскости и иные (в том числе текстовые) объекты. Обратите внимание на способ вывода этих объектов функцией display3d. Этот пример показывает, что с помощью графических программных средств Maple 9 можно строить достаточно замысловатые графики, которые могут использоваться для визуализации тех или иных геометрических и иных объектов.

Дифференциальные параметры функции f(x), описывающей некоторую кривую, имеют большое значение для анализа ее особых точек и областей существования. Так, точки с нулевой первой производной задают области, где кривая нарастает (первая производная положительна) или убывает (первая производная отрицательна) с ростом аргумента х. Нули второй производной задают точки перегиба кривой.

Для такого анализа особенно удобен новый пакет Calculus 1, включенный в пакет расширения Student. На рис. 8.73. показано применение функции FunctionChart для визуализации дифференциальных параметров кривой, которая представляет собой сложную функцию. По умолчанию анализ ведется в интервале изменения х от -10 до +10. Экстремальные точки помечаются ромбиком, точки перегиба крестиком, нули кружочками, а области кривых — заливкой цветом.

Рис. 8.73. Анализ и визуализация сложной функции, заданной функцией пользователя

Рисунок 8.73 дает наглядное представление о поведении заданной функции. Рекомендуется опробовать данную процедуру на других функциях. Следует отметить, что, поскольку процедура использует функции minimize и maximize, она может давать сбои при исследовании сложных функций, содержащих специальные математические функции или особенности. Данная процедура дает хорошие результаты при анализе функций, представленных полиномами.

Функция FunctionChart может использоваться с многочисленными опциями, существенно влияющими на вид рисунка — рис. 8.74. В данном случае анализируется функция sin(x)/x.

Рис. 8.74. Визуализация функции sin(x)/x

Визуализация функций весьма полезна в учебных целях при детальном изучении свойств той или иной функции.

В ряде случаев обычная техника анимации оказывается не очень подходящей из-за ограничений на выбор опций. Такова, например, ситуация, когда желательно обеспечить анимацию с большим числом кадров сложной поверхности, освещаемой от некоторого источника света. Пример такого рода представлен на рис. 8.75.

Рис. 8.75. Задание поверхности — мембраны

На рис. 8.76 задана упругая поверхность мембраны, закрепленной по периметру. Мембрана имеет ряд выпуклостей и впадин, переходящих друг в друга. Начальный вид мембраны представлен на рис. 8.76. Там же показано контекстное меню мыши, с помощью которой можно запустить анимацию — в том числе по кадрам.

Рис. 8.76. Организация анимации мембраны и ее начальное положение

А на рис. 8.77 представлен промежуточный кадр анимации, из которого хорошо виден ее характер. В частности, выпуклости мембраны переходят во впадины и наоборот. С учетом выбранной схемы освещения мембраны ее колебания выглядят очень эффектно и наглядно, что особенно ценно при использовании подобных примеров в образовании.

Рис. 8.77. Промежуточный кадр анимации поверхности мембраны

Различные поля (электрические, гидравлические, гравитационные и иные) относятся к достаточно сложным понятиям, визуализация которых представляет значительные трудности в связи с большим объемом вычислений параметров поля, выполняемых во многих точках пространства с разными системами координат и отсутствием у людей органов для наблюдения полей.

В пакете VectorCalculus можно найти функции, которые совместно с графикой ряда других пакетов обеспечивают высокую степень визуализации полей с помощью стрелок, направления и размеры которых указывают на количественные оценки полей и изменения их градиентов в различных точках полей. Не вдаваясь в тонкости математической и физической интерпретации таких графических построений, приведем несколько примеров их выполнения, иллюстрирующих возможности рассматриваемого пакета в визуализации полей.