Владимир Дьяконов - Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

На следующем рисунке (рис. 9.3) показано построение фигуры, образованной вращением множества квадратов относительно одной из вершин. Это хороший пример применения функций point, square, rotation и draw из пакета geometry.

Рис. 9.3. Фигура, полученная вращением квадрата

Рис. 9.4 показывает гомологические преобразования квадрата. Заинтересовавшийся читатель может легко разобраться с деталями простого алгоритма этой программы.

Рис. 9.4. Гомологические преобразования квадрата

Обратите особое внимание на последний параметр в функции draw. Он задает построение титульной надписи с заданными шрифтом и размером символов. Сравните титульные надписи на рис. 9.4 и на рис. 9.3, где титульная надпись сделана шрифтом, выбранным по умолчанию. Приятно, что в обоих случаях нет преград для использования символов кириллицы и создания надписей на русском языке.

Наконец, на рис. 9.5 показан пример построения трех окружностей разного радиуса и с разным положением, имеющих две общие точки. Обратите внимание на вывод надписей «о», «о1» и «о2», указывающих положение центров окружностей на рисунке.

Рис. 9.5. Три окружности, имеющие две общие точки

Множество других примеров применения всех функций пакета geometry дано в одноименном с ним файле примеров.

Помимо существенного расширения пакета geometry, в систему Maple введен геометрический пакет geom3d. Он предназначен для решения задач в области стереометрии (трехмерной геометрии). При загрузке пакета командой

with(geom3d)

появляется доступ к весьма большому (свыше 140) числу новых функций. Ввиду громоздкости списка он также не приводится, но читатель может просмотреть его самостоятельно.

Функции этого пакета обеспечивают задание и определение характеристик и параметров многих геометрических объектов: точек в пространстве, сегментов, отрезков линий и дуг, линий, плоскостей, треугольников, сфер, регулярных и квазирегулярных полиэдров, полиэдров общего типа и др. Назначение многих функций этого пакета ясно из их названия, а характер применения тот же, что для функции описанного выше пакета geometry.

Учитывая сказанное, ограничимся парой примеров применения этого пакета. Один из примеров представлен на рис. 9.6. На нем представлена сфера внутри «малого иглообразного» додекадрона (SinallStelletedDodecahedron).

Рис. 9.6. Иллюстрация применения пакета geom3d

Еще один пример представлен на рис. 9.7. Здесь представлено еще две объемные фигуры, расположенные друг в друге.

Рис. 9.7. Еще один пример применения пакета geom3d

Напоминаем, что цель пакета не в построении рисунков геометрических фигур, а в аналитическом представлении объектов в пространстве. Поэтому в обширной базе данных справочной системы по этому пакету вы встретите очень мало рисунков.

Графы широко используются при решении многих прикладных и фундаментальных задач. Пользователей, занятых решением таких задач, наверняка порадует пакет networks, содержащий весьма представительный набор функций. Список их имен выводит команда:

> with(networks);

Теория графов используется достаточно широко даже при решении прикладных задач — например, для вычисления оптимальных маршрутов движения железнодорожных составов, наиболее целесообразной раскройки тканей и листов из различных материалов и т.д.

Рассмотрим некоторые избранные функции этого пакета, которые наиболее часто используются при работе с графами. Функции создания графов:

new — создает пустой граф (без ребер и узлов);

void — создает пустой граф (без ребер);

duplicate — создает копию графа;

complete — создает полный граф;

random — возвращает случайный граф;

Petersen — создает граф Петерсена.

Функции модификации графов:

addedges — добавляет в граф ребро;

addvertex — добавляет в граф вершины;

connect — соединяет одни заданные вершины с другими;

delete — удаляет из графа ребро или вершину.

Функции контроля структуры графов:

draw — рисует граф;

edges — возвращает список ребер графа;

vertices — возвращает список узлов графа;

show — возвращает таблицу с полной информацией о графе;

ends — возвращает имена вершин графа;

head — возвращает имя вершины, которая является головой ребер;

tail — возвращает имя вершины, которая является хвостом ребер;

incidence — возвращает матрицу инцидентности;

adjacency — возвращает матрицу смежности;

eweight — возвращает веса ребер;

vweight — возвращает веса вершин;

isplanar — упрощает граф, удаляя циклы и повторяющиеся ребра, и проверяет его на планарность (возвращает true, если граф оказался планарным и false в противном случае).

Функции с типовыми возможностями графов:

flow — находит максимальный поток в сети от одной заданной вершины к другой;

shortpathtree — находит кратчайший путь в графе с помощью алгоритма Дейкстры.

Каждая из этих команд имеет одну или несколько синтаксических форм записи. Их можно уточнить с помощью справочной системы. С ее помощью можно ознакомиться и с назначением других функций этого обширного пакета. Проиллюстрируем его применение на нескольких типичных примерах.

На рис. 9.8 показан пример создания графа, имеющего четыре вершины, и графа Петерсона с выводом их графиков графической функцией draw.

Рис. 9.8. Построение графов

На рис. 9.9 показан другой пример работы с графами — построение графа функцией complete и затем его преобразование путем удаления части вершин. Исходный и преобразованный графы строятся функцией draw.