Генри Дьюдени - Пятьсот двадцать головоломок

Можете ли вы найти такое расположение костяшек, при котором все пустышки окажутся внутри?

471. Рамки из домино.Возьмите обычный комплект домино из 28 костяшек и положите обратно в коробку дубль 3, дубль 4, дубль 5 и дубль 6, поскольку они нам не понадобятся. Теперь сложите из оставшихся костяшек 3 квадратные рамки, как показано на рисунке, чтобы суммы очков вдоль каждой из сторон были равны между собой. В приведенном примере эти суммы равны 15. Если это одна из трех рамок, то суммы сторон остальных двух рамок также должны равняться 15. Однако вы можете взять любое число, какое пожелаете; кроме того, нетрудно заметить, что костяшки разрешается складывать не обязательно 6 к 6, 5 к 5 и т. д., как во время игры.

472. Полые квадраты из домино.Каждая игра порождает свои маленькие головоломки. Возьмем, например, следующую головоломку, обязанную своим появлением всем известной игре в домино.

Из 28 костяшек требуется составить 7 полых квадратов, подобных изображенному на рисунке, так, чтобы в любом квадрате суммы очков вдоль каждой из сторон равнялись между собой. У всех 7 квадратов общие суммы очков не обязаны, разумеется, совпадать, и, кроме того, квадрат, приведенный на нашем рисунке, не обязан входить в ваше множество из 7 квадратов.

Читатель, вероятно, легко сумеет составить 6 квадратов разными способами, однако трудности возникнут, когда вы попытаетесь сложить из оставшихся четырех костяшек седьмой квадрат.

473. Последовательности костяшек.У одного мальчика был полный комплект домино вплоть до дубля 9, и он бился над тем, чтобы расположить костяшки в одну линию обычным способом — 6 к 6, 3 к 3, пустышка к пустышке и т. д. Но отец сказал ему:

— Ты пытаешься сделать невозможное; однако если ты разрешишь мне убрать четыре костяшки, то тебе удастся добиться своей цели, а те костяшки, которые я возьму, будут содержать наименьшее число очков, возможное при данных обстоятельствах.

Какие костяшки выбрал отец? Помните, что обычный комплект домино заканчивается дублем 6, однако мы рассматриваем комплект, расширенный вплоть до дубля 9.

474. Квадраты из домино.Составьте из 28 костяшек домино 2 квадрата, как показано на рисунке, чтобы суммы очков вдоль каждой из 8 сторон совпали.

Значение сумм должно быть таким, чтобы головоломка оказалась разрешимой; кроме того, было бы интересно найти пределы, в которых может меняться это значение. Разумеется, мы не обязаны прикладывать костяшки друг к другу согласно обычному правилу — 6 к 6, пустышка к пустышке и т. д.

475. Умножение домино.Четыре костяшки домино можно расположить таким образом, чтобы получилось умножение столбиком, если очки рассматривать как цифры. Головоломка состоит в том, чтобы из 28 костяшек составить 7 таких «столбиков».

Оказывается, сравнительно легко составить 6 столбиков, но с оставшимися четырьмя костяшками ничего не удается сделать. Однако головоломка имеет решение, а его поиски доставят вам удовольствие. Пустышку не разрешается помещать слева ни в произведении, ни в множимом.

476. Прямоугольник из домино.Вот одна, как мне кажется, довольно занимательная головоломка с домино. Расположите 28 костяшек, как показано на рисунке, где очки не указаны, чтобы при этом сумма очков в каждом столбце равнялась 24, а в каждой строке — 21. Костяшки не обязательно прикладывать 6 к 6, 4 к 4 и т. д.

477. Столбик из домино.Расположите 28 костяшек домино в столбик, как показано на рисунке, таким образом, чтобы три произвольных идущих подряд множества очков давали слева и справа одинаковую сумму. Так, в нашем примере три верхних множества дают сумму 9 на обеих сторонах, сумма следующих трех равна 7 на обеих сторонах и т. д. Однако это всего лишь пример одного из участков подходящего столбика, и вы, если захотите, можете начать все заново.

478. Выстраивание домино.Однажды кто-то напомнил профессору Рэкбрейну о том, что он обещал сказать, сколькими способами можно расположить 28 костяшек домино в одну линию в соответствии с обычным правилом игры, если расположения слева направо и справа налево считать различными. Через некоторое время он сообщил, что таких способов 7 959 229 931 520, и добавил, что эта задача очень сложна.

Затем профессор предложил присутствующим решить аналогичную задачу для 15 костяшек (которые остаются после удаления всех костяшек с пятью или шестью очками), причем две цепочки домино, получающиеся из одной и той же цепочки при «чтении» ее один раз слева направо, а другой справа налево, считаются различными. Разумеется, и в этом случае костяшки следует располагать по обычным правилам: 1 к 1, 6 к 6 и т. д.

479. Головоломка со спичками.Взяв коробок спичек, я обнаружил, что могу составить из них любую пару правильных многоугольников, изображенных на нашем рисунке, причем на это каждый раз уходят все спички. Так, если бы у меня было 11 спичек, я мог бы из них составить, как показано, либо треугольник и пятиугольник, либо пятиугольник и шестиугольник, либо квадрат и треугольник (израсходовав на треугольник только 3 спички); но из 11 спичек нельзя составить ни треугольник с шестиугольником, ни квадрат с пятиугольником, ни квадрат с шестиугольником. Разумеется, на каждую сторону фигуры должно пойти одинаковое количество спичек.

Какое наименьшее число спичек может быть у меня в коробке?

480. Овцы и изгороди.Вот еще одна небольшая головоломка, для решения которой могут пригодиться спички. Некий фермер утверждает, что с помощью четырех жердей он может огородить квадратный участок, достаточный как раз для одной овцы. Если это и в самом деле так, то какое минимальное число жердей пойдет на загородку для десяти овец? Все зависит от формы вашей изгороди. По-другому расположить четыре спички (или жерди) вы можете только в виде ромба, и, чем более вытянутым будет этот ромб, тем меньшую площадь он будет огораживать, пока наконец после совмещения сторон огороженная площадь не обратится в нуль.