Стивен Строгац - Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир

Теперь, когда вы получили представление о дивергенции и роторе, давайте вернемся к уравнениям Максвелла. Они выражают четыре фундаментальных закона: первый — для дивергенции электрического поля, второй — для его ротора, а третий и четвертый такого же типа — для магнитного поля. Уравнения дивергенции связывают электрические и магнитные поля с источниками их возникновения, заряженными частицами и токами, которые создают их изначально. Уравнения ротора описывают, как электрические и магнитные поля взаимодействуют и изменяются с течением времени. При этом уравнения обладают красивой симметрией: они связывают скорость изменения во времени одного поля со скоростью изменения в пространстве другого поля, что количественно выражается его ротором.

Максвелл использовал математические приемы, эквивалентные векторному исчислению, которое в его время еще не было известно, и вывел логические следствия из этих четырех уравнений. Перетасовка символов привела его к выводу, что электрические и магнитные поля могут распространяться в виде волн, похожих на рябь в пруду. За исключением электрических и магнитных полей, больше походивших на симбиотические организмы. Они поддерживали друг друга. Волновое движение электрического поля воссоздавало магнитное поле, которое, в свою очередь, воссоздавало электрическое поле, и так далее; каждое тянуло другое вперед, причем ни одно из них не могло сделать это самостоятельно.

Это был первый прорыв — теоретическое предсказание электромагнитных волн. Но действительно потрясающее открытие ждало Максвелла впереди. Когда он вычислил скорости этих гипотетических волн с использованием известных свойств электричества и магнетизма, из его уравнений стало ясно, что поля передвигаются со скоростью около 193 тысячи миль в секунду — такое же значение для скорости света вывел французский физик Ипполит Физо за десять лет до этого!

Как я хотел бы стать свидетелем момента [111] Оказывается, Эйнштейн тоже хотел быть мухой в кабинете Максвелла, как он писал в 1940 году: «Представьте себе чувства [Максвелла], когда дифференциальные уравнения, которые он сформулировал, доказали ему, что электромагнитные поля распространяются в виде поляризованных волн со скоростью света! Только несколько человек в мире удостоились чести испытать такое». См. в A. Einstein, Considerations concerning the fundaments of theoretical physics, Science, Vol. 91 (May 24, 1940), pp. 487–492 (доступно на http://www.scribd.com/doc/30217690/Albert-Einstein-Considerations-Concerning-the-Fundaments-of-Theoretical-Physics). , когда человек впервые понял истинную природу света. Считая свет электромагнитной волной, Максвелл объединил три древних и, казалось бы, не связанных между собой явления: электричество, магнетизм и свет. Хотя такие экспериментаторы, как Фарадей и Ампер, ранее нашли основные части этой головоломки, именно Максвелл, вооруженный своей математикой [112] Уравнения Максвелла часто позиционируются как торжество чистого разума, но Саймон Шаффер, историк науки из Кембриджа, утверждает, что их появление в равной степени было обусловлено насущной технологической проблемой того времени — проблемой передачи сигналов по подводным телеграфным кабелям. См. S. Schaffer, The laird of physics, Nature, Vol. 471 (2011), pp. 289–291. , сложил их.

Сегодня мы купаемся в некогда гипотетических волнах Максвелла, имея радио, телевидение, сотовые телефоны и Wi-Fi. Таково наследие его колдовства с символами.

Статистика внезапно стала сверхмодным направлением. С появлением интернета, электронной торговли, социальных сетей, проекта по расшифровке генома человека, а также в связи с развитием цифровой культуры в целом мир стал захлебываться в данных. [113] Новейшие исследования в области данных см. в работах S. Baker, The Numerati (Houghton Mifflin Harcourt, 2008); I. Ayres, Super Crunchers (Bantam, 2007). Маркетологи изучают наши вкусы и привычки. Разведывательные службы собирают информацию о нашем местонахождении, электронной переписке и телефонных звонках. Специалисты по спортивной статистике жонглируют цифрами [114] Как специалисты по спортивной статистике жонглируют цифрами, см. M. Lewis, Moneyball (W. W. Norton and Company, 2003). , решая, каких игроков покупать, кого набирать в команду, а кого посадить на скамью запасных. Каждый стремится объединить точки в график и обнаружить закономерность в беспорядочном скоплении данных.

Неудивительно, что эти тенденции отражаются и в обучении. «Давайте обратимся к статистике» [115] См. N. G. Mankiw, A course load for the game of life, New York Times (September 4, 2010). , — увещевает в своей колонке газеты New York Times Грег Мэнкью, экономист из Гарвардского университета. «В учебной программе по математике в средней школе слишком много времени уделяется традиционным темам, таким как евклидова геометрия и тригонометрия. Эти полезные для обычного человека умственные упражнения, однако, малоприменимы в повседневной жизни. Учащимся было бы гораздо полезнее больше узнать о теории вероятности и статистике». Дэвид Брукс идет еще дальше [116] См. D. Brooks, Harvard-bound? Chin up, New York Times (March 2, 2006). . В своей статье, посвященной дисциплинам, заслуживающим внимания для получения достойного образования, он пишет: «Возьмите статистику. Вот увидите, окажется, что знание того, что такое стандартное отклонение, вам очень пригодится в жизни».

Вполне вероятно, а еще неплохо разбираться в том, что такое распределение. Это первое, о чем я намерен поговорить. И хотел бы заострить на нем внимание, поскольку в этом заключается один из главных уроков статистики [117] Введение в статистику вместе с захватывающими историями найдете в книгах D. Salsburg, The Lady Tasting Tea (W. H. Freeman, 2001); L. Mlodinow, The Drunkard’s Walk (Pantheon, 2008). Прим. ред.: Введение в статистику на русском языке: Положинцев Б.И. Теория вероятностей и математическая статистика. Введение в математическую статистику: Учебное пособие. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2010; Орлов А.И. Прикладная статистика. М.: Экзамен, 2004. : вещи кажутся безнадежно случайными и непредсказуемыми при рассмотрении их по отдельности, однако в совокупности в них обнаруживается закономерность и предсказуемость.

Возможно, вы видели демонстрацию этого принципа в каком-нибудь научном музее (если нет, видеоролики можно найти в интернете). Типичный экспонат представляет собой приспособление под названием доска Гальтона [118] Если вы не знакомы с доской Гальтона, можете посмотреть опыты с ней на YouTube: http://www.youtube.com/watch?v=xDIyAOBa_yU. , которая чем-то напоминает автомат для игры в пинбол, только без флипперов. Внутри его с равными интервалами располагаются ровные ряды штырьков.