Стивен Строгац - Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир

Предположим, вам известно, сколько потенциальных супругов вы встретите в течение жизни. (Фактическое количество не важно, лишь бы знать наперед, сколько их будет, и чтобы не слишком мало).

Предположим также, что вы могли бы оценить этих людей однозначно (то есть выбрать наилучшего), если бы увидели их всех вместе. К несчастью, это невозможно. Вы встречаете их только по одному и в случайном порядке. Таким образом, вы не можете знать, находится ли предмет ваших мечтаний с первым номером из вашего списка прямо за углом или вы уже встречались и расстались.

И правила этой игры таковы: как только вы позволите кому-то уйти, он (или она) тут же уходит. Второго шанса нет.

Наконец представим, что вы хотите остепениться. В этом случае, если вы порываете с тем «наилучшим на сегодняшний день», кого в прошлом не поместили в верхнюю часть списка, вы будете считать свою личную жизнь неудачной.

Есть ли надежда найти истинную любовь? Если да, то что нужно сделать, чтобы обеспечить себе наибольшие шансы?

Хорошая стратегия, хотя и не самая оптимальная, — разделить свою жизнь с момента, когда у вас начались романтические отношения, и до настоящего времени на две равные части. В первой половине вы мужчина нарасхват [101] «Мужчина нарасхват» — кинофильм режиссера Габриэле Муччино (2012). Звезда футбола и просто шикарный мужчина (Джерард Батлер) по воле случая становится тренером детской футбольной команды. С этого момента для своих подопечных и их обольстительных мамочек он мужчина нарасхват. Прим. перев. , а во второй — готовы к серьезным отношениям и собираетесь схватить первого же партнера, который будет лучше тех, с кем вы встречались до этого.

Следуя такой стратегии, есть по крайней мере 25-процентный шанс найти предмет мечтаний. И вот почему: шансов встретить его во второй половине жизни, когда вы созрели для серьезных отношений, у вас 50 на 50, и столько же встретить наилучшего на сегодня в первой половине жизни, когда вы еще легкомысленны. Вероятность, что произойдут оба события, составляет 25 %. В этом случае вы найдете свою истинную любовь.

А все потому, что «наилучший на сегодняшний день» очень высоко поднял планку. Никто из тех, кого вы повстречаете после того, как будете готовы к серьезным отношениям, не будет привлекать вас так, как предмет мечтаний. Но даже в этот момент вы, возможно, станете сомневаться, что предмет мечтаний и есть тот единственный, кто сможет преодолеть планку, поставленную «наилучшим на сегодняшний день».

Однако оптимальная стратегия — начать серьезный поиск партнера немного раньше, после 1/ е , или около 37 % от вашей потенциальной взрослой жизни. Это даст вам 1/ е шансов найти свою вторую половину.

Разумеется, при условии, что она в это время не будет играть в e -игры.

«Весной, — писал Теннисон, — воображение молодого человека с легкостью поворачивается к мыслям о любви». Увы, потенциальный партнер молодого человека может иметь собственные представления о любви, и тогда их отношения будут полны бурных взлетов и падений, которые делают любовь столь волнующей и столь болезненной. Одни страдальцы от безответной ищут объяснение этих любовных качелей в вине, другие — в поэзии. А мы проконсультируемся у исчислений.

Представленный ниже анализ будет насмешливо-ироничным, но он затрагивает серьезные темы. К тому же если понимание законов любви может от нас ускользнуть, то законы неодушевленного мира в настоящее время хорошо изучены. Они принимают форму дифференциальных уравнений, описывающих изменение взаимосвязанных переменных от момента к моменту в зависимости от их текущих значений. Возможно, у таких уравнений мало общего с романтикой, но они хотя бы могут пролить свет на то, почему, по словам другого поэта, «путь истинной любви никогда не был гладким».

Чтобы проиллюстрировать метод дифференциальных уравнений, предположим, что Ромео любит Джульетту [102] Модели любовных отношений, основанные на дифференциальных уравнениях, см. S. H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos (Perseus, 1994). , но в нашей версии этой истории Джульетта — ветреная возлюбленная. Чем больше Ромео любит ее, тем сильнее она хочет от него спрятаться. Но когда Ромео охладевает к ней, он начинает казаться ей необыкновенно привлекательным. Однако юный влюбленный склонен отражать ее чувства: он пылает, когда она его любит, и остывает, когда она его ненавидит.

Что происходит с нашими несчастными влюбленными? Как любовь их поглощает и уходит с течением времени? Вот где дифференциальное исчисление приходит на помощь. Составив уравнения, обобщающие усиление и ослабление чувств Ромео и Джульетты, а затем решив их, мы сможем предсказать ход отношений этой пары. Окончательным прогнозом для нее будет трагически бесконечный цикл любви и ненависти. По крайней мере четверть этого времени у них будет взаимная любовь.

Чтобы прийти к такому выводу, я предположил, что поведение Ромео может быть смоделировано с помощью дифференциального уравнения

которое описывает, как его любовь ( R ) изменяется в следующее мгновение ( dt ). Согласно этому уравнению, количество изменений ( dR ) прямо пропорционально (с коэффициентом пропорциональности a ) любви Джульетты ( J ). Данная зависимость отражает то, что мы уже знаем: любовь Ромео усиливается, когда Джульетта любит его, но это также говорит о том, что любовь Ромео растет прямо пропорционально тому, насколько Джульетта его любит. Это предположение линейной зависимости эмоционально неправдоподобно, но оно позволяет значительно упростить решение уравнения.

Напротив, поведение Джульетты можно смоделировать с помощью уравнения

Отрицательный знак перед постоянной b отражает то, что ее любовь остывает, когда любовь Ромео усиливается.

Единственное, что еще осталось определить, — их изначальные чувства (то есть значения R и J в момент времени t = 0). После этого все необходимые параметры будут заданы. Мы можем использовать компьютер, чтобы медленно, шаг за шагом двигаться вперед, изменяя значения R и J в соответствии с описанными выше дифференциальными уравнениями. На самом деле с помощью основной теоремы интегрального исчисления мы можем найти решение аналитически. Поскольку модель простая, интегральное исчисление выдает пару исчерпывающих формул, которые говорят нам, сколько Ромео и Джульетта будут любить (или ненавидеть) друг друга в любой момент времени в будущем.