Карлос Мадрид - Мир математики. т.32. Бабочка и ураган. Теория хаоса и глобальное потепление

Барнсли обнаружил, что при простой «игре в хаос», словно по волшебству, могут появляться листья папоротника и других растений. Игра в хаос заключается всего лишь в постепенном нанесении на лист бумаги последовательности точек, которая в пределе образует знакомую картину. Подведем итог: на основе случайного закона (Кант сказал бы: закона, не подчиняющегося намерению) при помощи компьютера мы способны породить лист растения. Для этого достаточно выбрать фиксированную точку (расположенную не в центре экрана) и начать подбрасывать монету.

Когда выпадет решка, отметим новую точку на расстоянии в 6 единиц на северо-запад от предыдущей. Когда выпадет орел, новую точку сдвинем на 25 % к центру относительно предыдущей. Очевидно, что это построение может повторяться произвольное число раз и изначально расположение точек будет казаться случайным.

Однако после нескольких тысяч бросков на экране непостижимым образом постепенно начнет проявляться лист папоротника. Хаос словно бы порождает порядок в виде фрактального множества — папоротника Барнсли.

Мы никогда не узнаем, что сказал бы великий кёнигсбергский философ, если бы смог охватить взглядом удивительное множество природных систем, строго детерминированных, но при этом обладающих хаотическим поведением со всеми вытекающими последствиями, то есть поведением случайным, или стохастическим (по-гречески stochastikos означает «умеющий угадывать»). Многие движения, кажущиеся беспорядочными, в действительности описываются строгими правилами, в которых нет места случайности. Таким образом, хаос и фракталы — это новый инструмент познания Вселенной.

«Спонтанное» появление папоротника Барнсли.

* * *

ОТРЫВОК ИЗ РОМАНА «ВЕК ПРОСВЕЩЕНИЯ» АЛЕХО КАРПЕНТЬЕРА

Наблюдая за улиткой, Эстебан думал о том, что на протяжении тысячелетий перед взором первобытных народов, живших рыбною ловлей, постоянно находилась спираль, но они еще не способны были не только постичь ее форму, но даже осознать ее присутствие. Он созерцал похожего на шар морского ежа, спиралевидную раковину моллюска, желобки на раковине святого Иакова и поражался богатству форм, открытых человечеству, которое, увы, не способно осмыслить то, что представало его глазам. «Верно, и ныне многое вокруг меня приняло четкие и определенные формы, но я не могу постичь их смысл!» — думал Эстебан. Какой знак, какая мысль, какое предупреждение таятся в завитках цикория, в немом языке мхов, в строгой форме плода миртового дерева? Созерцать улитку. Одну улитку… Те Deum… [2] Перевод Я. Лесюка . — Примеч. ред .

* * *

ДИАЛОГ ИЗ ФИЛЬМА «ПАРК ЮРСКОГО ПЕРИОДА»

(РЕЖИССЕР СТИВЕН СПИЛБЕРГ, 1993 ГОД), СНЯТОГО ПО ОДНОИМЕННОМУ РОМАНУ МАЙКЛА КРАЙТОНА

- Тираннозавр не намерен подчиняться правилам и распорядку, он — суть хаоса.

- Я не понимаю, что такое хаос. Что это значит?

- Это непредсказуемость в сложных системах. Проще говоря — эффект бабочки. Бабочка взмахнула крылышком в Пекине, а в Центральном парке полил дождь. Сейчас вы все увидите. Дайте мне этот стакан воды. Машину постоянно качает, но ничего, это просто пример.

Допустим, вам в руку упала капелька воды. Куда она, по-вашему, скатится? К какому пальцу?

- Скажем, к большому.

- Так, хорошо. Не убирайте руку! Не шевелитесь. Я снова капну, в то же самое место. Куда теперь скатится капля?

- Не знаю. Туда же?

- Не туда! Почему? Потому что невидимые глазу колебания, ориентация волосинок на руке, количество крови в венах, микроскопические изъяны кожи, как правило, непостоянны и значительно влияют на результат.

- Как это называется?

- Непредсказуемость. Смотрите. Видите? Я снова прав. Кто мог предположить, что д-р Грант неожиданно выпрыгнет на ходу из машины? И еще один пример. Я остался один и разговариваю с самим собой. Теория хаоса в действии.

* * *

Сегодня хаос у всех на устах. О нем сняты такие фильмы, как «Хаос», «Эффект бабочки» и «Парк Юрского периода». Ему посвящены художественные произведения, к примеру «Баталист» испанского писателя Артуро Перес-Реверте, где удачно сделанная фотография полностью меняет жизнь хорватского партизана, рассказы «И грянул гром» Рэя Брэдбери, в котором гибель доисторической бабочки меняет исход президентских выборов в США, или «Крах Баливерны» Дино Буццати, где неудержимое восхождение по отвесной скале получает неожиданную развязку.

Но что такое хаос? В большинстве словарей приводится несколько определений этого понятия. К примеру, в толковых словарях русского языка дается три значения слова «хаос». Первые два отражают изначальный смысл, которым наделялось это слово в Древней Греции, а также его привычное значение.

1. В древнегреческой мифологии и философии — беспорядочная материя, неорганизованная стихия, существовавшая в мировом пространстве до образования известного человеку мира.

2. Полный беспорядок, неразбериха.

Третье определение отражает смысл хаоса в физике и математике.

3. Явление, при котором поведение нелинейной системы выглядит случайным, несмотря на то что оно определяется детерминистическими законами.

В этой книге мы, разумеется, поговорим о хаосе в третьем, последнем значении, а также покажем, как математический хаос находит место в массовом сознании благодаря его использованию в физике, биологии, медицине, нейробиологии и других науках. Множество систем в нашем мире, начиная от человеческого мозга и заканчивая климатом Земли, полны хаоса.

В этой и следующей главах мы расскажем историю математической истории хаоса начиная с эпохи Ньютона, периода научной революции, и заканчивая XXI веком.

Знаковым в развитии теории хаоса стал рубеж XIX и XX веков, когда ряд нерешенных задач небесной механики, связанных с устойчивостью Солнечной системы (столкнется ли Луна с Землей? уничтожит ли удар астероида жизнь на Земле?), был рассмотрен талантливым математиком Анри Пуанкаре принципиально иным образом. И в этой, и в следующей главе мы будем использовать интуитивно понятное определение хаоса, близкое к тому, которое применяется в механике, так как именно в механике впервые были описаны системы, которые мы сегодня называем хаотическими. В третьей главе попытаемся применить более формальный подход и постараемся точнее объяснить, в чем именно заключается упомянутый в предисловии эффект бабочки, уже знакомый нам по литературе и кино.

Но начнем с самого начала. Так называемая теория хаоса родилась усилиями нескольких математиков, заинтересованных в том, чтобы связать динамические системы (системы, эволюционирующие со временем) и геометрию, — в их число входили уже упомянутый Анри Пуанкаре и Стивен Смэйл. Немалый вклад в создание теории хаоса внесли физики, изучавшие столь далекие друг от друга области, как метеорология и астрономия, в частности Эдвард Лоренц и Мишель Эно, а также некоторые биологи, занимавшиеся изучением роста популяций, в частности Роберт Мэй. В этот длинный список также следует включить многих ученых, работавших сразу в нескольких областях, в частности Джеймса Йорка, Давида Рюэля, Митчелла Фейгенбаума, Майкла Барнсли и многих других.