Карлос Мадрид - Мир математики. т.32. Бабочка и ураган. Теория хаоса и глобальное потепление

В отличие от Лагранжа, который хвастался тем, что его «Аналитическая механика» не содержала ни одной иллюстрации, Пуанкаре смело использовал геометрические методы.

Понимая невозможность решить большинство дифференциальных уравнений (для нелинейных уравнений метод возмущений не работал), Пуанкаре рассмотрел их геометрически. Начал он с того, что рассмотрел дифференциальное уравнение

где производная у по хравна отношению двух произвольных функций Р и Q. Ученый подробно изучил так называемые особые точки, то есть точки с координатами ( х, у), в которых Р( х, у) = Q( x, у) = 0. Иными словами, особые точки — это точки, в которых производная у по хравна нулю, разделенному на ноль, то есть точки, в которых возникает неопределенность, ведь операция деления на 0 не имеет смысла. Именно поэтому такие точки называются особыми.

* * *

РЕЗИНОВАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Топология — это раздел математики, изучающий исключительно форму и расположение геометрических объектов без учета их количественных свойств, в частности размеров. Например, схемы метро дают информацию о станциях и пересадках, но искажают расстояния. Важнейшую роль в развитии топологии сыграл Пуанкаре, благодаря которому она обрела популярность как «качественная геометрия». Предоставим слово самому Пуанкаре:

«Так называемый «анализ размещения», analysis situs, это целая доктрина, которая привлекала внимание крупнейших геометров и в которой одна за одной появилось несколько важных теорем. Отличие этих теорем от теорем классической геометрии в том, что они носят качественный характер и остаются корректными даже тогда, когда фигуры неумело срисует неопытный чертежник, исказив их пропорции и заменив прямые более или менее криволинейными отрезками».

Топологию часто сравнивают с геометрией резиновых лент: если бы геометрические фигуры были изготовлены из эластичной резины, их можно было бы превращать друг в друга. Так, с точки зрения топологии сфера и куб неразличимы, и не важно, что поверхность сферы гладкая, а куб имеет ребра. Говорят, что тополог — это математик, не способный отличить бублик от чашки кофе, так как его невнимательный взгляд замечает лишь то, что и чашка, и бублик имеют единственное отверстие (бублик — дырку, чашка — отверстие в ручке). Мы можем отличить бублик от апельсина, так как в бублике дырка есть, а в апельсине — нет. Но как мы отличили бы бублик от апельсина, если бы были совсем маленькими и жили на их поверхности? (Этот вопрос вовсе не так прост, ведь сферическая поверхность Земли кажется нам плоской.) Один из методов, позволяющий избавиться от сомнений, заключается в изучении группы Пуанкаре для нашего пространства. Допустим, что мы привязали собаку к крыльцу дома очень длинным резиновым поводком и оставили ее на несколько дней. Если мы живем на поверхности бублика, то, когда мы вернемся домой, поводок скорее всего будет натянут, так как собака наверняка пройдет через отверстие бублика. Если же мы живем на поверхности апельсина, то, когда мы вернемся, поводок будет висеть свободно, и мы сможем смотать его обратно.

Пуанкаре был автором знаменитой гипотезы, носящей его имя: «Является ли трехмерная сфера единственным трехмерным многообразием, на поверхности которого любая петля стягивается в точку?». Эта обобщенная гипотеза была доказана Фридманом для четырех измерений и Смэйлом — для большего числа измерений. Полное доказательство гипотезы Пуанкаре для трех измерений привел российский математик Григорий Перельман в 2003 году.

* * *

Далее Пуанкаре рассмотрел их с точки зрения топологии: он изучил поведение кривых, заданных дифференциальным уравнением, в окрестности этих точек, поскольку решения исходного дифференциального уравнения — это функции, которые можно представить на плоскости графически. Точнее говоря, для этих функций можно построить график в так называемой фазовой плоскости. Термин «фаза» изначально появился в электротехнике и обозначает состояние или место, в котором находится определенное решение. На фазовой плоскости изображается семейство кривых, которые описывают решения дифференциального уравнения. Эти кривые часто называются траекториями или, по аналогии с движением планет, орбитами.

Пуанкаре разделил особые точки на четыре класса: центр, фокус, узел, седло. Названия классов заимствованы из гидродинамики, так как траектории (орбиты) на фазовой плоскости можно сравнить с потоком жидкости, распространяющимся по ней. Центры — это особые точки, окруженные периодическими орбитами; фокусы — особые точки, которые притягивают близлежащие траектории (они подобны водостокам фазовой плоскости); узлы, напротив, являются неустойчивыми, так как отталкивают близлежащие траектории (продолжая аналогию с гидродинамикой, такие точки можно сравнить с кранами, из которых льется вода на фазовую плоскость); наконец, седла — особые точки, которые являются устойчивыми и неустойчивыми одновременно. Седла — это точки, в которых словно бы сталкиваются два потока воды. Траектории, которые пересекаются точно в седле, называются сепаратрисами.

Седла Пуанкаре называл гомоклиническими точками, сепаратрисы — двоякоасимптотическими. В конце главы вы узнаете, почему он выбрал именно такие названия.

Слева — центр, справа — фокус.

Слева — узел, справа — седло идее сепаратрисы, которые в этом случае представляют собой две прямые, пересекающиеся в центральной точке.

Позднее Пуанкаре сформулировал теорему, которая сегодня называется теоремой Пуанкаре — Бендиксона (в честь шведского математика, закончившего ее доказательство). Согласно этой теореме, наряду с предельными циклами (замкнутыми кривыми, притягивающими соседние траектории) указанные выше разновидности особых точек являются единственно возможными на плоскости. Так как в двух измерениях существуют только центры, фокусы, узлы, седла и предельные циклы, то можно сказать, что количество траекторий, которые описывают решения дифференциальных уравнений, невелико: они могут описывать витки вокруг центра или предельного цикла, удаляться от узла, проходить вблизи седла или приближаться к фокусу. Все возможные варианты траектории можно пересчитать по пальцам одной руки.