Карлос Мадрид - Мир математики. т.32. Бабочка и ураган. Теория хаоса и глобальное потепление

Для малых колебаний это уравнение можно заменить линейным, использовав в качестве приближенного значения тригонометрической функции sin θ сам угол θ. Полученное уравнение d 2 θ/ dt 2+ sin θ = 0 решить нетрудно: это линейное дифференциальное уравнение второго порядка, так как в нем фигурирует вторая производная, однако ни вторая производная, ни θне возводятся в степень, большую 1.

Приведем еще один пример нелинейного дифференциального уравнения: m∙( dv/ dt) — v 2= mg, где g— ускорение свободного падения (9,8 м/с 2). Это уравнение описывает движение снаряда в среде, сопротивление которой пропорционально квадрату его скорости ( v 2и будет нелинейным членом уравнения).

* * *

После того как задача nтел была решена для n= 2, физики и математики XVIII и XIX столетий приступили к решению этой задачи для n= 3, чтобы описать относительное движение Солнца, Земли и Луны. Были начаты две параллельные исследовательские программы: в рамках первой велся поиск общих приближенных решений с помощью метода возмущений, в рамках второй — поиск точных частных решений. К примеру, Лагранж решил задачу трех тел, рассмотрев систему, включающую Солнце, Юпитер и астероид Ахиллес. Самый знаменитый труд Лагранжа,

«Аналитическая механика», стал достойным завершением работ Ньютона по механике. Вообще этот математик считал Ньютона счастливейшим из ученых: Вселенная всего одна, а ее математические законы открыл именно он.

В то же самое время возник еще один вопрос, тесно связанный с задачей n тел, — вопрос об устойчивости Солнечной системы, которая в то время представляла собой систему из семи тел. Ответ на этот вопрос напрямую зависел от решения задачи nтел. Ньютон знал, что для задачи двух тел можно привести точное решение для любого промежутка времени, однако при рассмотрении трех тел все обстояло иначе.

Хотя взаимное притяжение планет слабее, чем их притяжение к Солнцу, этими силами нельзя пренебречь, поскольку они могут сместить планету с орбиты или даже вытолкнуть ее за пределы Солнечной системы.

В своем труде «О движении тел по орбитам» ( De motu corporum in gyrum ), изданном в 1684 году, Ньютон писал, что планеты не движутся по эллипсам и не проходят по одной и той же орбите дважды. Он признавал, что задача о расчете траекторий движения планет на произвольный интервал времени неподвластна человеческому разуму.

Лист рукописи «О движении тел по орбитам» Исаака Ньютона.

Оставался вопрос: устойчива ли Солнечная система? Не сойдут ли ее планеты в будущем со своих орбит? По мнению Ньютона, если планеты Солнечной системы постепенно сходили с орбит, требовалось радикальное решение: рука Бога периодически должна подталкивать каждую планету внутрь орбиты, восстанавливая равновесие. Лейбниц возражал Ньютону: Создателя нельзя уподоблять часовщику, который время от времени подводит часы.

Несколько десятилетий спустя великий физик и математик Пьер-Симон Лаплас(1749–1827) , который при Наполеоне занял пост министра внутренних дел, счел, что объяснил отклонения Сатурна и Юпитера от орбиты. Эти отклонения сильно беспокоили Ньютона, считавшего, что они объясняются исключительно законом всемирного тяготения и со временем скомпенсируют — ся. Юпитер, казалось, двигался с ускорением, Сатурн же постепенно замедлялся, и если бы эта тенденция сохранялась, то Юпитер покинул бы Солнечную систему, а Сатурн упал бы на Солнце.

* * *

ПОЛЕМИКА ЛЕЙБНИЦА И КЛАРКА

В 1715–1716 годах философ, математик, юрист, посол и человек множества других профессий Готфрид Вильгельм Лейбниц(1646–1716) вступил в дискуссию по переписке с Сэмюелом Кларком(1675–1729) , англиканским священником и сторонником Ньютона. Спор был посвящен влиянию механики Ньютона на христианские догматы. Лейбниц к тому времени уже вел активную переписку с самим Ньютоном по поводу авторства дифференциального и интегрального исчисления: оба ученых обвиняли друг друга в плагиате. Лейбниц во время этой переписки обсудил открытия Ньютона на примере задачи трех тел и устойчивости Солнечной системы.

Предполагалось, что Бог совершенен, следовательно, созданный Им мир — лучший из возможных, поэтому абсурдно предположение, что Бог должен регулярно подводить часы Вселенной.

По мнению Лейбница, Ньютон недооценил Бога. И действительно, в «Оптике» Ньютон писал: «В связи с вязкостью жидкостей, трением частей и слабой эластичностью тел движение с намного большей вероятностью будет затухать, нежели появляться, и неизменно будет сходить на нет». В ответ на это Лейбниц задавал вопрос: «Неужели машина, созданная Богом, способна приходить в такой беспорядок, что Он сам должен чинить ее подобно простому ремесленнику?»

Ньютон, дабы не унижать свое достоинство, предоставил право ответа на этот вопрос Кларку.

На этом полемика Лейбница и Ньютона завершилась, и английская математика надолго оказалась в изоляции. В результате пострадала и континентальная наука: французы, к примеру, долго следовали Декарту и его теории вихрей, пока Вольтер в 1727 году, вернувшись из Англии, не познакомил соотечественников с теорией тяготения Ньютона.

* * *

Лаплас доказал, что ускорение Юпитера и замедление Сатурна были вызваны второстепенными факторами, обусловленными особым расположением планет относительно Солнца. Солнечная система восстанавливала равновесие самостоятельно. Казалось, что спустя почти 100 лет Лейбниц праздновал победу над Ньютоном. Когда Лаплас представил свой «Трактат о небесной механике» Наполеону, тот заметил, что ни в одном томе этого монументального труда не упоминается Бог. Лаплас ответил: «Это потому, что я в этой гипотезе не нуждался». Система мира, описанная Лапласом, была полностью детерминированной и устойчивой. В своем «Опыте философии теории вероятностей» (1814) ученый писал:

«Мы должны рассматривать нынешнее состояние Вселенной как результат его предшествующего состояния и как причину состояния, которое воспоследует. Разум, которому в настоящий момент были бы известны все силы, движущие природой и относительное положение всех существ, ее составляющих, и который был бы достаточно обширным, чтобы подвергнуть все эти данные анализу, подытожил бы в одной и той же формуле движения величайших тел Вселенной и мельчайших атомов: для этого разума ничто не было бы неопределенным, и грядущее, равно как и прошлое, предстали бы перед его глазами.