Марио Ливио - φ – Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания

После смерти Александра власть над Египтом и африканскими владениями Александра получил Птолемей I, и в числе первых его распоряжений было учреждение в Александрии подобия университета (Музейона). В него входила и библиотека; на ее комплектацию были брошены значительные силы, и считается, что в определенный момент в ней хранилось 700 000 книг (некоторые были конфискованы у незадачливых заезжих иностранцев). В первый штат преподавателей Александрийской школы входил и Евклид, автор «Начал», самой прославленной книги за всю историю математики. Хотя Евклид был «автором бестселлера» (по количеству проданных экземпляров «Начала» до ХХ века уступали лишь Библии), весьма вероятно, что он учился в Афинах у кого-то из учеников Платона. Прокл, в частности, пишет о Евклиде: «Этот муж жил при Птолемее I… Он моложе окружения Платона и старше Эратосфена и Архимеда».

«Начала», тринадцатитомный труд по геометрии и теории чисел, настолько колоссален по размаху, что мы иногда забываем, что Евклид написал еще с десяток книг на самые разные темы – от музыки до механики и оптики. До нас дошли лишь четыре его трактата: «О делении», «Оптика», «Явления» и «Данные». В «Оптике» содержатся некоторые первые исследования перспективы. Едва ли кто-нибудь станет спорить, что «Начала» – величайший и авторитетнейший учебник математики в истории человечества. Рассказывают, что Авраам Линкольн, желая разобраться, что на самом деле значит слово «доказательство» в юридическом контексте, изучал «Начала» в своей хижине в Кентукки. Знаменитый английский философ и логик Бертран Рассел описывает в автобиографии свое знакомство с «Началами» Евклида (в одиннадцать лет!) и говорит, что это была «величайшая веха в моей жизни, событие ослепительное, словно первая любовь».

При прочтении «Начал» складывается впечатление, что автор этого труда – человек совестливый, почитающий традиции и очень скромный. Евклид нигде не пытается присвоить себе чужие мысли и достижения. В сущности, он вообще не претендует на оригинальность, несмотря на совершенно очевидный факт, что он предлагает множество новых доказательств, совершенно иначе организует знания, которым другие ученые посвятили целые тома, и самостоятельно продумывает структуру своего труда. Дотошность, честность и скромность Евклида снискали восхищение Паппа Александрийского, который около 340 года н. э. составил «Математическое собрание» – бесценный обзор многих аспектов греческой математики.

В «Началах» Евклид делает попытку охватить основную часть всего свода математических знаний своего времени. Книги I–VI посвящены геометрии плоских фигур, которую мы теперь изучаем в школе и которая получила название в честь Евклида – евклидова геометрия. Из них в книгах I, II, IV и VI говорится о линиях и плоских фигурах, в книге III собраны теоремы об окружности, а в книге V подробно рассказывается о следствиях из предположения, которое сделал Евдокс Книдский (408–355 г. до н. э.). Книги VII–X посвящены теории чисел и основам арифметики. В частности, в книге Х подробно рассказывается об иррациональных числах, и ее содержание в основном посвящено трудам Теэтета. В книге XI излагаются основы стереометрии, в книге XII, где в основном разобраны труды Евдокса, дана теорема о площади круга, а в книге XIII, также основанной на трудах Теэтета, рассказано, как построить пять платоновых тел.

Еще в античности к «Началам» писали комментарии – этим занимались Герон (I в. н. э.), Папп (IV в.) и Прокл (V в.) – все из Александрии – и Симпликий Афинский (VI в.). В IV в. н. э. появилась новая редакция труда, выполненная Теоном Александрийским; именно с нее делались все переводы вплоть до XIX века, когда в Ватикане была обнаружена рукопись с несколько иным текстом. В Средние века «Начала» трижды переводили на арабский. Первый из переводов выполнил Аль-Хаджжадж ибн Юсуф по заказу халифа Гарун-аль-Рашида (правил в 786–809 гг.), о котором мы знаем по сказкам из «Тысячи и одной ночи». В Европе «Начала» стали известны в латинских переводах арабской версии. Арабский текст получил в свое распоряжение английский монах-бенедиктинец Аделард (Аделяр) Батский (ок. 1070–1145), который, как рассказывают, путешествовал по Испании, называясь студентом-магометанином; около 1120 года он выполнил перевод на латынь. Этот перевод лег в основу всех европейских изданий вплоть до XVI века. Затем последовали переводы на многие современные языки.

Сам Евклид, вероятно, и не был величайшим математиком в истории, однако нет никаких сомнений, что как преподавателю математики ему не было и нет равных. Его учебником практически в неизменном виде пользовались больше двух тысяч лет, до середины XIX века. Даже сыщик Шерлок Холмс, плод воображения Артура Конан-Дойла, в «Этюде в багровых тонах» утверждает, что его выводы, сделанные методом дедукции, «безошибочны, как теоремы Евклида» ( пер. Н. Треневой ).

Речь о золотом сечении заходит в «Началах» несколько раз. Первое определение золотого сечения («в крайнем и среднем отношении») мы встречаем в книге II, где оно применяется к площадям и о нем говорится несколько расплывчато. Второе, более четкое определение – применительно к пропорциям – дано в книге VI. Евклид опирается на золотое сечение, в частности, при построении правильного пятиугольника (в книге IV), додекаэдра и икосаэдра (в книге XIII).

Рис. 24

Давайте при помощи самой простой геометрии изучим определение Евклида и поймем, почему золотое сечение играет такую важную роль в построении пятиугольника. На рис. 24 изображен отрезок АВ, разделенный на две части точкой С. Евклидово определение из книги IV, где говорится о крайнем и среднем отношении, означает, в сущности, что (длинная часть) / (короткая часть) = (целый отрезок/длинная часть). Иначе говоря, на рис. 24:

AC / CB = AB / AC

Так как же подобное деление отрезка связано с пятиугольником? У любой правильной плоской фигуры (то есть с равными сторонами и внутренними углами, такие фигуры еще называют правильными многоугольниками) сумма углов равна 180 × ( n –2), где n – число сторон. Например, у треугольника n = 3, и сумма всех углов равна 180 градусам. У правильного пятиугольника n = 5, и сумма всех углов, следовательно, равна 540 градусов. Значит, каждый угол правильного пятиугольника равен 540/5 = 108 градусов. А теперь представим себе, что мы проводим из одного угла пятиугольника две диагонали, как на рис. 25, а , и у нас получается три равнобедренных треугольника. Поскольку два угла при основании любого равнобедренного треугольника равны, углы при основании треугольников по бокам равны 36 градусов каждый: (180–108)/2.