Хавьер Фресан - Мир математики: m. 35 Пока алгебра не разлучит нас. Теория групп и ее применение.

ЛЕВИ-СТРОСС: Как от скромной задачи написать учебник вы пришли к идее объединить всю математику?

ВЕЙЛЬ: По мере работы над книгой мы поняли: чтобы заложить надежную основу дифференциального и интегрального исчисления, требовалось пересмотреть все основные понятия математики, начиная с простейших. Наши предшественники довольствовались бы тем, что изложили в нескольких главах весь необходимый материал, но для того чтобы достичь невообразимых высот математики нашего времени, нескольких глав было недостаточно. Отмечу, что математика в достаточной мере подчиняется тезису Томаса Куна о структуре научных революций. В период с конца XIX до первой трети XX века произошла смена парадигмы: в это время возникли теория множеств Кантора, общая топология Хаусдорфа, алгебраическая топология Пуанкаре и Лефшеца, появились Гильбертовы пространства и современная алгебра, создателями которой можно назвать Нётер, Артина и ван дер Вардена.

18

Все новые теории зарождаются одинаково: все начинается с анализа множества примеров, которые рассматриваются независимо друг от друга, а затем некто, подобно первым натуралистам, классифицирует эти примеры на основе наиболее заметных схожих черт. Только в ходе подробного исследования проявляются скрытые свойства, причем некоторые из них становятся очевидными далеко не сразу. Конечной целью Бурбаки в итоге стал поиск основных составляющих всей математики.

ЛЕВИ-СТРОСС: ...чтобы наступил этап, который Кун называл «нормальной наукой».

ВЕЙЛЬ: Труднее всего было организовать работу. Сперва мы регулярно встречались в парижских кафе, но вскоре этих встреч стало не хватать, и мы решили провести вместе две недели летних каникул в каком-нибудь приятном месте, чтобы вывести математику на свежий воздух.

Первый симпозиум состоялся в 1935 году в местечке Бессе в Оверни, где располагалось несколько корпусов Клермонского университета. Следующая встреча должна была пройти в Эскориале, но нам помешала гражданская война в Испании. В итоге мы собрались в доме семейства Шевалле в Шанже, однако встреча по-прежнему называлась Эскориальским симпозиумом.

К каждой встрече члены группы готовили доклады на различные темы, которые позднее должны были войти в книгу. На встречах мы читали эти доклады, составляли планы отдельных томов и связывали различные главы с теми, что уже были опубликованы или только готовились к публикации. Затем начиналась редактура. Мы постановили, что книгу можно будет считать законченной только тогда, когда за это единогласно проголосуют все члены группы. Порой одна и та же рукопись переписывалась бесчисленное множество раз, и на работу ушло более пяти лет, поскольку всегда находился кто-то недовольный результатом. Я и сегодня не могу поверить, что в 1939 году мы завершили работу над сорокастраничной брошюркой, где излагались основы наивной теории множеств, и даже нашли издателя.

ЛЕВИ-СТРОСС: А почему вы назвали теорию множеств «наивной»? Очередная шутка?

ВЕЙЛЬ: Разумеется. Девиз, под которым группа Бурбаки начала свой труд по унификации математики, звучал так: «поставить аксиоматический метод на службу идеологии структур». Об идеологии структур мы поговорим чуть позже.

Если говорить о методе, то мы решили использовать в качестве основы теорию множеств, которая, несмотря на парадоксы, обнаруженные в ней в начале века, в то время пребывала в добром здравии. Следовательно, первый шаг на пути к формализации математики состоял в том, чтобы подробно описать все обозначения и синтаксис теории множеств.

Эта задача была посложнее любого из подвигов Геракла — перед нами был пример Рассела и Уайтхеда, которые работали над «Началами математики» десять лет подряд по 12 часов в день. Таким образом, если бы мы ввели достаточное количество аббревиатур и новых правил синтаксиса, то получили бы намного более практичный язык. Он не был бы формальным в строгом смысле этого слова, но был бы достаточно близок к формальным языкам, чтобы обладать идеальной четкостью. Именно в этом и заключалась «наивность» нашей теории множеств — разновидности стенографической записи идеального языка, не содержащего ни единого пробела.

Вскоре мы забросили формализованную математику, но во всех работах неизменно оставляли своего рода путеводные знаки, чтобы при необходимости вернуться к ней. Следует понимать, насколько мы были увлечены строгими обозначениями, не оставлявшими места риторике. В нашем линейном повествовании запрещались любые отсылки к другим источникам, и в результате вещественные числа впервые объяснялись на трехтысячной странице.

ЛЕВИ-СТРОСС: Не противоречат ли этому исторические заметки, согласно которым Бурбаки имел обыкновение начинать каждую книгу «с чистого листа»?

ВЕЙЛЬ: Это другое. Обратите внимание, что название нашего трактата, «Начала математики», было выбрано не случайно. С одной стороны, мы понимаем математику как единое целое, с другой — сложно не заметить отсылку к «Началам» Евклида. Мы, подобно Евклиду, хотели создать труд, который не потерял бы актуальность на протяжении двух тысяч лет, а достичь этой цели можно было только при одном условии — обеспечив абсолютную полноту книги. Представьте, что люди будущего обнаружат одну из математических статей. В ней будет множество отсылок к другим текстам, многие из которых, скорее всего, окажутся утерянными, и сколь бы интересной ни была наша статья, в конечном итоге она оказалась бы бесполезной. «Начать с чистого листа» не означает отрицать существование математики до нас, ведь геометрия существовала и до Евклида. Напротив: наш трактат, подобно труду Евклида, должен был содержать все знания, известные на тот момент.

Но при упорядочении старых материалов часто обнаруживаются другие, новые.

Должен признаться, что добавить исторические заметки в конец каждого тома предложил я. Позвольте рассказать, почему я принял такое решение. Когда я поступил в Нормальную школу, оказалось, что научная библиотека работала по очень неудобному расписанию. Директор, устав выслушивать мои жалобы, назначил меня помощником библиотекаря. Я мог работать в библиотеке в любое время суток — от меня требовалось лишь минимальное присутствие на рабочем месте. Именно в библиотеке Нормальной школы я прочел труд Бернхарда Римана — в свое время я выучил немецкий, чтобы понимать, о чем говорят родители, когда хотят сохранить что-то в секрете от меня с сестрой. Прочтя труд Римана, я еще больше укрепился в мысли, которая пришла мне в голову после знакомства с трудами древних греков: во всей истории человечества важны лишь гении, а единственный способ познакомиться с ними — это прочесть их произведения. С тех пор я неизменно считал, что при изучении истории математики основное место следует отводить прочтению классических трудов, а не запоминанию никому не интересных дат.