Хавьер Арбонес - Том 12. Числа-основа гармонии. Музыка и математика

Это простейшая симметричная фигура. Части этой композиции могут повторяться и далее, образуя различные симметричные структуры:

Также существуют сложные формы, состоящие из трех частей, каждая из которых также делится на три части. В результате образуются более крупные симметричные структуры:

Некоторые короткие произведения, например вальс ор. 34 № 1 Фредерика Шопена(1810–1849) , обладают еще более широкой симметрией:

Чем длиннее произведение, тем меньше вероятность наличия подобной симметрии. «Музыкальное приношение» Баха обладает формальной симметрией следующего вида:

Месса си минор Баха

Иоганн Себастьян Бах, самый изобретательный композитор всех времен, использовал в своих произведениях структуры, обладающие символическими и математическими свойствами. Его Месса си минор (Высокая месса) BWV 232, состоит из 27 частей, объединенных в четыре группы: Kyrie, Gloria, Credo и финальную, включающую в числе прочих части Sanctus, Hosanna, Benedictus и Agnus Dei . Композитор хотел изобразить Святую Троицу как в музыке, так и в числах.

Число 3 обозначает Святую Троицу. Общее число частей произведения (27), а также число частей в каждой группе (3 + 9 + 9 + 6) делится на три. Две центральных группы ( Gloria и Credo ) имеют симметричную структуру. Центр симметрии Gloria расположен в хоре Domine Deus («Господи Боже»). Центр симметрии Credo — в Crucifixus («Распятье»):

—Kyrie

Kyrie eleison (№ 1).

Christe eleison.

Kyrie eleison (№ 2).

—Gloria

Gloria in excelsis Deo.

Et in terra pax.

Laudamus te.

Gratias agimus tibi.

Domine Deus. <���—

Qui tollis peccata mundi.

Qui sedes ad dexteram Patris.

Quoniam tu solus sanctus.

Cum Sancto Spiritu.

—Credo

Credo in unum Deum.

Patrem omnipotentem.

Et in unum Dominum.

Et incarnatus est.

Crucifixus. <���—

Et resurrexit.

Et in Spiritum Sanctum.

Confiteor.

Et expecto.

—Sanctus, Hosanna, Benedictus, Agnus Dei

Sanctus.

Hosanna.

Benedictus.

Hosanna (da capo).

Agnus Dei.

Dona nobis pacem.

В частности, три центральных элемента группы Credo рассказывают о жизни Христа, начиная от воплощения ( Et incarnatus est ) до воскрешения ( Et resurrexit ), центральная часть повествует о распятии ( Crucifixus ).

* * *

МУЗЫКАЛЬНЫЕ КРИПТОГРАММЫ

Криптограмма — сообщение, которое нельзя прочитать, не зная ключа шифра. Это сообщение может быть спрятано внутри рисунка, в тексте или посреди беспорядочно расположенных цифр и букв. Музыкальная криптограмма — это произведение, в котором зашифрован текст. Чтобы прочитать его, необходимо всего лишь записать обозначения всех его нот. Многие композиторы создавали произведения, следуя такой системе. Наиболее известной музыкальной криптограммой, вне всякого сомнения, является В-А-С-Н, в которой используется классическая немецкая нотация. В этой нотации си-бемольобозначается буквой В, ля— буквой А, до— буквой С, си— буквой Н.

Другими известными криптограммами являются:

— ABEGGв честь Meta Abegg в «Вариациях на тему Abegg» Роберта Шумана;

— CAGEв честь Джона Кейджа. Этот мотив использовала Полина Оливейрос;

— GADEв честь Нильса Гаде. Этот мотив использовал Роберт Шуман.

Антон Веберн в своем Струнном квартете, соч. 28 использовал четыре ноты В-А-С-Ни два геометрических преобразования, с помощью которых превратил эти четыре ноты в восемь.

Австрийский композитор Альбан Берг(1885–1935) в своей опере «Воццек» отдает дань уважения трем ведущим представителям венской школы, зашифровав текст в партитуре для каждого инструмента:

— пианино: Арнольд Шёнберг ( ADSCHBEG);

— скрипка: Антон Веберн ( АЕВЕ);

— труба: Альбан Берг ( ABABEG).

* * *

Итальянский математик Леонардо Пизанский, известный как Фибоначчи(ок. 1170 — ок. 1250) , был одним из тех, кто ввел в употребление арабские цифры в Европе. В своей «Книге абака» он изложил задачу:

«Пусть в огороженном месте имеется пара кроликов (самка и самец) в первый день января. Эта пара кроликов производит новую пару кроликов в первый день февраля и затем в первый день каждого следующего месяца. Каждая новорожденная пара кроликов становится зрелой уже через месяц и затем каждый месяц дает жизнь новой паре кроликов. Возникает вопрос: сколько пар кроликов будет в огороженном месте через год, то есть через 12 месяцев с начала размножения?»

Ответ на эту интересную задачу таков:

— В первые два месяца имеется всего одна пара кроликов, А .

— В третьем месяце родится В , первая пара — потомок А .

— В четвертом месяцев родится С , вторая пара — потомок А .

— В пятом месяце родится D , третья пара — потомок А , и Е , первая пара — потомок В .

Численность кроликов в последующие месяцы будет описываться последовательностью 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144… Эта последовательность чисел известна как числа Фибоначчи. Если мы поделим каждый член этой последовательности на предыдущий, получим:

На схеме показан рост численности кроликов. Белыми точками обозначены пары молодых кроликов, черными — взрослых кроликов, способных давать потомство.

Отношения членов ряда Фибоначчи стремятся к числу 1,618033989…, известному как золотое сечение, или божественная пропорция. Числа Фибоначчи часто встречаются в природе: например, ими описывается число семечек в спиралях подсолнуха, расположение ветвей растений, спирали раковин моллюсков и так далее.

Отрезки пятиконечной звезды — пентаграммы, которая используется во многих культурах, также скрывают в себе золотое сечение. Справа — схема расположения семян подсолнечника. Число спиралей в обе стороны выражается числами Фибоначчи.