Хавьер Арбонес - Том 12. Числа-основа гармонии. Музыка и математика

Золотое сечение используется и в музыке. Некоторые произведения Моцарта и Бетховена разделены своей высшей точкой, моментом максимального напряжения на части, длительность которых подчиняется золотому сечению. Наиболее вероятно, что и Моцарт, и Бетховен получили этот результат интуитивно, стремясь придать своей музыке равновесие. В творчестве композитора Белы Бартока числа Фибоначчи встречаются столь часто, что это нельзя объяснить случайным совпадением. Так, в первой фуге его произведения «Музыка для струнных, ударных и челесты» 89 тактов, исполняемых ударными и челестой, делятся на части длиной в 55 и 34 такта. Разделение этих частей на более мелкие также описывается числами Фибоначчи: первая часть делится на 34 и 21 такт, вторая — на 13 и 21. Третья часть этого же произведения, исполняемая в темпе адажио, начинается с ритмической последовательности, в которой на ксилофоне исполняется одна и та же нота фа 1, 1, 2, 3, 5, 8, 5, 3, 2, 1 и 1 раз. Струнный квартет № 4 его же авторства состоит из 2584 долей — это 18-е число Фибоначчи.

Числа Фибоначчи также описывают модели интервалов, использованные Бартоком, среди которых встречаются интервалы из 2, 3, 5, 8 и 13 полутонов.

Некоторые композиции Дебюсси также подчиняются правилу золотого сечения или описываются числами Фибоначчи. Начало «Диалога ветра с морем» в его произведении «Море» состоит из 55 тактов, которые делятся на группы по 21, 8, 8, 5 и 13 тактов. «Золотой» такт номер 34 отмечен нотой, исполняемой на трубе.

Хотя подобный анализ может действительно иметь отношение к реальности, к нему стоить подходить умеренно. Нередко слушатель, который заранее знает, что в произведении используется золотое сечение, начинает «слышать», что произведение звучит по-особому.

* * *

МЕРА КРАСОТЫ

Творчество состоит в поиске формы: художник объединяет большое и малое, сочетает напряженные и смягченные моменты, прямые и кривые, высокие и низкие звуки. В результате достигается некое стабильное или нестабильное равновесие. Эстетическое удовольствие, которое получает зритель от результата творчества, является в высшей степени субъективным. Существует ли хотя бы приблизительный объективный критерий красоты? Золотое сечение, возможно, самый известный пример объективной меры красоты, однако предпринимались и другие попытки найти подобные критерии. В их существовании был убежден американский математик Джордж Биркхоф(1884–1944) . Изучив различные виды искусства, в начале 1930-х годов он опубликовал работы A Mathematical Theory of Aesthetics («Математическая теория эстетики») и Aesthetic Measure («Эстетическая мера»). В них рассматривались скульптура, музыка и поэзия. Он определил величину, названную им эстетической мерой, которая зависела от двух параметров: эстетического порядка ( O) и сложности ( С):

M= O/ C

Эстетический порядок определяется регулярностью расположения элементов, составляющих произведение искусства, сложность является численной оценкой присутствия этих элементов. Биркхоф первым признал, что для получения репрезентативных результатов следовало изучать не произведение в целом, а лишь некоторые его характеристики, например отдельные аккорды ритма и гармонический контекст в музыке. Биркхоф посвятил музыке три главы своей книги, в которых проанализировал аккорды, гармонию, мелодию и контрапункт. Вне зависимости оттого, насколько эффективна предложенная им система, интересно заметить, что, согласно уравнению Биркхофа, чем меньше сложность, тем больше красота. Иными словами, между красотой и простотой существует прямая зависимость.

* * *

Мы предлагаем читателю подробнее познакомиться с различными параметрами звуков и глубже изучить их природу. Если мы хотим рассматривать звук не как художественное, а как физическое явление, то нам потребуются математические инструменты. Мы совершим путешествие в микромир и изучим потоки электронов в электрических цепях, чтобы понять, как передается звуковая информация.

Физика звука

Благодаря особенностям нашего слуха мы можем различать высоту звуков, которая связана с частотой колебаний. Звук является результатом колебаний некоторого твердого тела, будь то металл, дерево, кожа. Звук также может образовываться в результате колебаний воздуха, воды или голосовых связок. Эти колебания распространяются от источника к ближайшим частицам.

Вне зависимости от источника звука волна в конечном итоге распространяется по воздуху и достигает наших ушей. Распространение волны вызвано чередованием областей сжатия и разрежения воздуха. Именно эти чередования наши уши воспринимают как звук. Если области сжатия и разрежения чередуются равномерно, то звуковые колебания называются гармоническими. Скорость, с которой чередуются области сжатия и разрежения, называется частотой. Частота равняется числу колебаний в секунду и измеряется в герцах. Чем больше частота колебаний, тем выше звук.

При распространении звуковых колебаний среда изначально находится в состоянии покоя, затем постепенно достигается максимальная амплитуда колебаний ( А ), после чего среда снова стремится к состоянию покоя, из которого снова набирает максимальную амплитуду (— А ). При возвращении в состояние покоя завершается полный цикл ( λ ). В этой точке угол наклона касательной к кривой равен углу ее наклона в начальной точке. С точки зрения математики звуковые колебания описываются синусоидальной функцией:

Каждый аргумент этой функции определяет какой-либо параметр звука: высоту, интенсивность или тембр. Высота определяется частотой колебаний. Низким частотам соответствуют низкие звуки, высоким — высокие.

Высота звука пропорциональна его частоте.

Спектр частот, различаемых ухом, индивидуален для каждого человека и зависит от возраста, но, как правило, он охватывает 11 октав:

«Интенсивность», то есть звуковая энергия, переносимая звуковой волной за единицу времени, зависит от амплитуды звуковых колебаний: чем выше громкость, тем больше амплитуда волны. Интересно, что нижний порог слышимости соответствует звуковому давлению в 2·10 -4бар, а болевой порог соответствует давлению в 200 бар.