Антонио Дуран - Том 27. Поэзия чисел. Прекрасное и математика

(1 – 2 z 2)·(1 – 5 z 2)·(1 – 6 z 2) = 1 - 13 z 2+ 52 z 4 - 60 z 6.

* * *

ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР (1707–1783)

Эйлер был одним из величайших математиков всех времен и, вне всяких сомнений, лучшим в XVIII веке. Он родился в 1707 году в Базеле, окончил местный университет, брал частные уроки у Иоганна Бернулли — одного из учеников Лейбница.

В 1727 году он переехал в Санкт-Петербург, с 1731 по 1741 год был членом Петербургской академии наук, затем работал в Пруссии и был избран членом Берлинской академии наук. Несмотря на непростые отношения с прусским королем Фридрихом II, Эйлер прожил в Берлине 25 лет и в итоге возглавил академию наук. По словам Фридриха II, усилиями которого Берлин стал одним из культурных центров Европы, Эйлеру недоставало блеска, таланта и элегантности. Эйлер был простым человеком, лишенным качеств, необходимых для «салонной жизни», которую так любил король. В одном из писем к Вольтеру Фридрих II назвал Эйлера «огромным циклопом геометрии» — злая шутка о математике, который в 1738 году ослеп на один глаз. После Берлина Эйлер вновь вернулся в Санкт-Петербургскую академию наук и умер в Санкт-Петербурге в 1783 году.

О влиянии Эйлера на математику последующих эпох лучше всего скажет классическая фраза Лапласа: «Читайте, читайте Эйлера — он учитель всех нас!». Или процитируем Гаусса: «Изучение трудов Эйлера остается лучшей школой в различных областях математики и не может быть заменено ничем другим».

* * *

Нетрудно видеть, что число, которое умножается на z 2в полученном выражении, равно сумме чисел, на которые умножается z 2в левой части равенства. Также нетрудно показать, что это соотношение верно для любого числа сомножителей в этом произведении. Эйлер понял: все, что верно для конечных произведений и сумм, верно и для бесконечных. Иными словами, если мы запишем:

(1 - az 2)·(1 - bz 2)·(1 - cz 2)·… = 1 - Az 2+ Bz 4- Cz 6+…,

то A = а + Ь + с + …

Далее Эйлер ввел в игру функцию синуса. Синус и косинус — две основные тригонометрические функции. Они определяются очень просто. Изобразим угол х на координатной плоскости следующим образом: одной из сторон угла будет горизонтальная ось, вторая сторона угла будет иметь длину, равную 1. Синус определяется как длина проекции этой стороны угла на вертикальную ось, косинус — как длина проекции этой стороны на горизонтальную ось, что показано на следующем рисунке.

Эйлер последовательно рассмотрел два разложения функции синуса в ряд. Один из этих бесконечных рядов открыл сам Эйлер:

где знаменатели дробей — квадраты натуральных чисел, умноженные на квадрат числа 71. Второе разложение синуса в бесконечный ряд открыл Ньютон:

Здесь знаменатели представляют собой факториалы последовательных чисел. Напомним, что факториал произвольного числа n определяется как произведение всех чисел, меньших n: n ·( n — 1)·( n — 2)· … ·3·2·1. Следовательно, знаменатели в представленной выше формуле равны факториалам показателя степени z плюс 1.

Иными словами, если показатель степени z равен 2, то знаменатель будет факториалом 3: 3·2·1 = 6; если показатель степени z равен 4, то знаменатель будет равен факториалу 5: 5·4·3·2·1 = 120, и так далее.

Так как оба этих ряда представляют собой разложение одной и той же функции синуса, они должны быть равны, в частности:

Согласно изложенному в предыдущем абзаце, получим:

или, что аналогично:

Таким образом, суммой чисел, обратных квадратам натуральных чисел, будет квадрат числа π , разделенный на 6.

Размышления Харди применительно к практике

Теперь вернемся к рассуждениям Харди о двух основных свойствах, которые наделяют математическую идею эстетической ценностью. Харди писал: «Два качества играют существенную роль: общность и глубина идеи, но ни одно из них не поддается определению легко и просто».

Говоря об общности математической идеи, Харди уточнял: «Значительная математическая идея, серьезная математическая теорема должна обладать "общностью" в каком-то следующем смысле. Идея должна быть составляющей частью многих математических конструкций, используемых в доказательствах многих теорем различного рода. Теорема должна быть такой, что даже если первоначально она сформулирована в весьма частном виде (как теорема Пифагора), она должна допускать существенное обобщение и быть типичной для целого класса теорем аналогичного рода. Отношения, выявляемые в ходе ее доказательства, должны связывать многие различные математические идеи». Чтобы у читателя не осталось никаких сомнений относительно того, насколько сложно точно определить «общность», Харди писал: «Всё это очень смутно и требует многочисленных уточнений».

Рассмотрим пример, приведенный Эйлером: обладает ли ряд Эйлера общностью в том смысле, в каком трактовал это свойство Харди? Да, этот ряд действительно обладает общностью, причем в нескольких значениях.

Основная идея Эйлера заключалась в том, чтобы использовать для вычисления некоторых бесконечных сумм два представления одной и той же функции: одно в виде произведения, другое — в форме ряда. В представленном выше случае Эйлер с помощью функции синуса нашел сумму чисел, обратных квадратам натуральных чисел. Применив другие функции, Эйлер во «Введении в анализ бесконечно малых» с помощью аналогичного метода вычислил множество сумм бесконечных рядов, в частности:

В этой сумме с противоположными знаками записаны числа, обратные кубам нечетных чисел, за исключением кратных 3.

Однако общность идеи Эйлера не ограничивается одной лишь заменой функции синуса на другие. В его методе рассматривается выражение

Число, на которое последовательно умножается z 2, связывается с суммой чисел, на которые умножается z 2в левой части равенства. В слегка видоизмененном виде идея Эйлера становится еще более плодотворной. Достаточно обратить внимание на числа, которые умножаются на остальные степени переменной в правой части равенства и выразить их через коэффициенты при z 2в левой части равенства (см. врезку на следующей странице). Применив эту идею, Эйлер вычислил не только сумму чисел, обратных квадратам натуральных чисел, но и чисел, обратных четвертым, шестым и восьмым степеням: