Карл Зигмунд - Точное мышление в безумные времена. Венский кружок и крестовый поход за основаниями науки

Через несколько недель фон Нейман написал Гёделю, что из доказательства неполноты следует полный крах программы Гильберта. То есть если математика непротиворечива, то утверждение «математика непротиворечива» как раз и есть одно из этих жутковатых гёделевских утверждений — истинное, но недоказуемое! На поверхностный взгляд это глубокий парадокс, но на самом деле рассуждения совершенно точны.

Однако Гёдель уже пришел к тому же заключению и обратной почтой отправил Джону фон Нейману корректуру своей статьи. Эпохальная работа «О принципиально неразрешимых положениях в системе Principia Mathematica и родственных ей системах, I» ( Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I) была опубликована несколько недель спустя в Monatshefte , математическом журнале, редактором которого был Ганс Ган. Римская цифра I в конце названия появилась потому, что первоначально Гёдель собирался написать вторую часть с более подробным разбором доказательств, но благодаря теплому приему первой со стороны Неймана и других математиков вскоре стало понятно, что можно обойтись и без второй. Часть I оказалась достаточно прозрачной, чтобы убедить верхушку математического мира. А к сведению и на благо философов Гёдель написал краткий синопсис, который напечатали в Erkenntnis , домашнем журнале Венского кружка.

Джон фон Нейман был потрясен до глубины души. Нашелся человек, который соображает быстрее него! Свои доказательства гений из Венгрии частенько придумывал во сне. Иногда, проснувшись, он обнаруживал в приснившемся доказательстве ошибку. Но он обожал повторять, что рано или поздно — не позднее третьего сна — к нему приходит верное решение. Ему уже дважды снилось, что он доказал непротиворечивость математики. Какая удача, смеялся он, что этот сон не повторился в третий раз! Более того, если бы фон Нейман обнаружил формальное доказательство непротиворечивости, это означало бы — благодаря результату Гёделя, так похожему на парадокс, — что математика и в самом деле противоречива .

Доказательство Гёделя занимает десятки страниц, однако идея, лежащая в его основе, поразительно проста. В любой формальной системе математические утверждения представляют собой просто последовательности символов. Гёдель нашел систематический способ превращать любую такую последовательность в уникальное целое число (так уж вышло, что в очень большое число, но эта подробность ни на что не влияет). Данная последовательность символов уникальным образом определяет это целое число (то есть последовательность может быть механически «зашифрована» в виде этого числа) и наоборот: если дано большое целое число, то его можно представить в виде последовательности символов, и тогда эта последовательность определяется уникальным образом (то есть большое целое число, если угодно, можно механически «расшифровать»). Впоследствии эти большие числа получили название «номера Гёделя» соответствующих последовательностей, а рецепт шифровки-расшифровки — «нумерация Гёделя».

Следующая идея опирается на то, что доказательства в Principia Mathematica , как и в любой другой формальной системе, строятся регулярно, таким образом, что это можно отразить в мире чисел. Так, для любой теоремы существует «число-теорема», с которым можно работать в терминах сложения, умножения и других математических понятий. Поэтому доказуемость последовательности в формальной системе соответствовала чисто математическому свойству очень большого числа, и об этом свойстве можно было говорить, применяя систему обозначений из Principia Mathematica . Иначе говоря, точно так же, как можно утверждать, что число N — квадрат, куб или простое число, и доказывать о подобных утверждениях всевозможные теоремы (например, «существует бесконечно много простых чисел»), можно утверждать, что число N — число-теорема, и существуют всевозможные теоремы об этом более сложном понятии «численности-теоремности» (например, «существует бесконечно много чисел-теорем»). Таким образом, система Principia Mathematica обретает способность говорить (в зашифрованном виде) о доказуемости или недоказуемости последовательностей в самой системе Principia Mathematica . Вот типичный пример, когда змея кусает свой хвост!

Решающий шаг Гёделя, его coup de grâce [310] 310 Ibid. , состоял в конструировании особого математического утверждения G , согласно которому последовательность, обладающая номером Гёделя g, недоказуема, то есть ее нельзя формально вывести из системы аксиом Principia Mathematica . Что поразительно, Гёдель умудрился повернуть все так, что целое число g и есть номер Гёделя утверждения G («несколько случайно», как он лукаво заметил). Тогда утверждение G гласит, что оно — не теорема, то есть не может быть доказано в пределах Principia Mathematica . Можно выразить G словами: «Меня нельзя доказать в пределах Principia Mathematica ». А тогда ложно G или истинно? Доказуемо или недоказуемо? Выходит, если G доказано, это приводит к противоречию, и, наоборот, если доказано его отрицание не- G , это приводит к другому противоречию. Казалось бы, полная катастрофа, неизбежно ведущая к самопротиворечивой системе — но постойте! А вдруг недоказуемы и G , и не- G ? В таком случае удается уберечь от противоречивости всю систему ( Principia Mathematica ), но лишь ценой полной невозможности решить, во что она «верит» — в G или в не- G .

Короче говоря, если система Principia Mathematica непротиворечива, то есть она никогда не докажет два утверждения, противоречащих друг другу, то с помощью ее аксиом и правил невозможно доказать ни G , ни не- G . А поскольку G утверждает, что его невозможно формально доказать, то, что́ оно утверждает, истинно. Однако доказательство истинности G по Гёделю опирается на смысл G . Это не доказательство с точки зрения формальной доказуемости, эта идея ограничена доказательствами, которые определяются по формальным правилам Principia Mathematica . Это Гёдель сумел показать, что это странное утверждение G истинно, поскольку мыслил вне правил системы.

Писатель Ганс Магнус Энценсбергер, родившийся в 1929 году, в одном из своих стихотворений сравнил доказательство Гёделя с курьезной историей об известном вруне бароне Мюнхгаузене, который утверждал, будто вытащил сам себя из болота за косичку. «Только Мюнхгаузен был лжец, а Гёдель оказался прав» [311] 311 Hommage а Gödel, в кн.: H. M. Enzensberger. Elixiere der Wissenschaft. Frankfurt: Suhrkamp, 2002. .

Фраза «Меня нельзя доказать» вообще не похожа на нормальное математическое высказывание. Ведь математики обычно имеют дело с числами, фигурами, функциями, а не с абстрактными философскими на вид идеями вроде «доказуемости». Но благодаря рецепту шифровки-расшифровки Гёделя на формальную доказуемость утверждения стали смотреть как на качество, в точности соответствующее арифметическому свойству номера Гёделя, присвоенного этому утверждению.