Карл Зигмунд - Точное мышление в безумные времена. Венский кружок и крестовый поход за основаниями науки

С точки зрения Гильберта и практически всех остальных математиков, доказательство безупречно: мы задали «вилку» и показали, что либо один, либо другой путь приведет к желаемому результату. Дело только в том, что мы не знаем заранее, какая из двух веток нам поможет, но это вроде бы и неважно, поскольку мы доказали, что сработает либо один, либо другой способ. Однако для Брауэра и его учеников такие доказательства-вилки не годились! С их точки зрения, перед нами классический случай, когда вывода сделать нельзя.

Сегодня мы знаем, что число √2 √2 иррационально, но дело не в этом. Дело в том, что Брауэр заставил усомниться в правомерности применения закона исключенного третьего, и у него нашлись последователи. Брауэр утверждал, что особенно опасно применять этот закон при всей его очевидности к бесконечным множествам.

Грубо говоря, если сколько-то яблок положить в два мешка, то либо оба мешка будут с яблоками, либо один окажется пустым, так что нет никакого «среднего» в некоей неуловимой сумеречной зоне между двумя вариантами. Это очевидно сразу. Однако математики применяют те же рассуждения и к случаю, когда яблок бесконечно много : либо в обоих мешках лежит по бесконечному множеству яблок, либо в одном мешке их лишь конечное количество (возможно, нуль). Если мы можем по тем или иным причинам исключить один из вариантов, остается второй, никакого промежуточного варианта нет.

Именно эта очевидная на первый взгляд истина и вызвала сомнения Брауэра. Легко определить, пусто в мешке или нет, но как проверить, конечно или бесконечно его содержимое? Можно, разумеется, пересчитать яблоки, скажем, вынимать их по одному. Если этот процесс через некоторое время завершится, то есть мешок опустеет, мы сможем с уверенностью заключить, что его содержимое изначально было конечным. Но пока мы находимся в процессе подсчета, мы не можем сказать, конечно или бесконечно число яблок в мешке.

Брауэр предостерегал, что нужно опасаться бесконечности, если нет какой-то надежно определенной конструктивной процедуры. Пока не доказано ни утверждение А , ни утверждение не-А , нельзя сказать, что какое-то из них обязательно истинно.

В результате конструктивных ограничений Брауэра математикам стало еще труднее рассуждать логически. Гильберт немедленно запротестовал: запрещать математику пользоваться законом исключенного третьего — все равно что «запрещать боксеру применять кулаки». Тем не менее к лагерю Брауэра примкнули многие первоклассные математики.

К лагерю? Математика гордится тем, что не знает никаких противоборствующих лагерей, сект и конгрегаций. Подобные скандальные расколы лучше оставить на откуп богословам и философам. Но вот это произошло: философские разногласия нежданно-негаданно перессорили и математиков.

Молодой Карл Менгер изо всех сил постарался объяснить кружку Шлика, в чем суть интуиционизма. Однако члены кружка сочли доводы Брауэра туманными и уж точно диаметрально противоположными всему, что они называли «интуитивным». Поэтому Менгер, человек весьма широких взглядов, отправился в паломничество, чтобы выяснить все об интуиционизме, усевшись у ног великого учителя.

Л. Э. Я. Брауэр был фигурой внушительной, с резкими, острыми чертами лица. Еще студентом он написал статью «Жизнь, искусство и мистицизм», которая представляла собой радикальную атаку на традиционную логику. Теперь он жил в колонии художников в пригороде Амстердама. Дом его, по сути, был просто крошечной бедной хижиной в садике, и там не было ничего, кроме стола, кровати и пианино.

Помимо Менгера в свите этого мистика были и другие молодые математики, в том числе и Павел Александров, тот самый спортсмен, который вытащил из моря мертвое тело Урысона. Брауэр взял на себя посмертную публикацию сочинений утонувшего советского математика, сопроводив его своим предисловием.

Карл Менгер глубоко восхищался Брауэром. Он стал его ассистентом в Амстердамском университете и читал там лекции. Когда скоропостижно скончалась мать Менгера, Брауэр окружил своего протеже трогательной заботой. Но через некоторое время все-таки возник неприятный вопрос о приоритете, и это привело к глубоким разногласиям. Карл Менгер полагал, что Брауэр, говоря о теории размерности, не уделил достаточно внимания его роли. А Брауэр оказался не готов корректировать свои взгляды. Он стоял на своем с упорством средневекового рыцаря. А Менгер, со своей стороны, не желал уклоняться от столкновения. Поэтому его положение в Амстердаме пошатнулось, и ситуация накалилась.

И тут, в разгар скандала, явилось спасение — и не откуда-нибудь, а из Вены. В 1927 году Курт Рейдемейстер, великий создатель теории узлов, принял приглашение из Кенигсберга, а следовательно, должность адъюнкт-профессора геометрии в Вене освободилась. Вакансию тут же предложили двадцатипятилетнему Карлу Менгеру. Это был небывалый карьерный взлет. Даже бывший соученик Менгера Вольфганг Паули не мог похвастаться, что стал профессором значительно быстрее.

Однако ссора с Брауэром продолжала мучить Менгера. Письмо, которое он написал, запечатал и отправил на хранение в Академию наук, чтобы подтвердить свои притязания, было вскрыто в официальной обстановке, в присутствии свидетелей, и его содержимое было подтверждено документально — однако никому, похоже, не было до этого дела. Следующим шагом Менгера стала публикация целой пулеметной очереди статей по этому вопросу, и он даже уговорил Ганса Гана писать длинные письма Брауэру в подтверждение своих притязаний.

Примерно тогда же Менгер и Ган пригласили голландского математика выступить в Вене с лекциями. Ведь научное миропонимание требовало строгого разделения личного и научного. Брауэр с удовольствием принял приглашение и с наслаждением воспользовался всеми возможностями напасть на формализм Гильберта. Так появились его знаменитые Венские лекции, которые пробудили в Витгенштейне угасшую было страсть к философии.

Перед самым началом первой лекции Брауэра Ганс Ган в тесноте битком набитой аудитории представился автору «Трактата». Витгенштейн «поблагодарил его с рассеянной улыбкой и взглядом, устремленным в бесконечность», — писал Карл Менгер. Сам он смотрел на это в смятении. Юного геометра покоробило, что Витгенштейн так ясно дает понять, что Ган ему неинтересен, и его охватило благородное негодование из-за подобного высокомерия. Менгер дал себе зарок никогда не ставить себя выше других. Как он писал в дальнейшем, «Я всегда старался избегать знакомства с людьми, которые не выражали заинтересованности в знакомстве со мной» [308] 308 Ibid. .

Менгер был убежден, что понимает, откуда взялась такая надменность. Он приписывал ледяное равнодушие Витгенштейна обиде на всех венских математиков. Конечно, если речь идет о таком иррациональном предубеждении, ничего не поделаешь. Поэтому все осталось как есть.