Карл Зигмунд - Точное мышление в безумные времена. Венский кружок и крестовый поход за основаниями науки

Карл Менгер провел почти полтора года в санатории в Афленце, в области под названием Штирия. Впоследствии он сравнивал этот сельский курорт с «Волшебной горой», которую так завлекательно описал Томас Манн. Вот что называется смотреть на мир сквозь розовые очки! Однако Менгер прекрасно распорядился свободным временем. В Вену он вернулся с исправленным доказательством и смог подать свою работу в качестве докторской диссертации, ничего не опасаясь.

Менгер попросил друга, которому доверял, во время отсутствия регулярно присылать ему конспекты всех лекций по математике, которые он пропустил за три семестра. Друга звали Отто Шрайер (1901–1929), и они с Карлом вместе учились в школе, только Отто — на класс старше; он был так же талантлив, как и все остальные ученики в этой школе.

В 1923 году Шрайер уехал в Марбург на ежегодную конференцию немецких математиков. Подающие надежды молодые математики обычно в насмешку называли такие конференции «рынком рабов»: естественно, пожилые профессора пристально вглядывались в молодую поросль. Если кто-то особенно выделялся, он мог рассчитывать на должность ассистента или даже старшего преподавателя.

Молодой Карл Менгер как «человек на все времена»

Отто Шрайеру на рынке рабов в том году крупно повезло: ему предложили работу в Гамбурге. А вот своему другу Карлу Менгеру, который на конференцию не поехал, он был вынужден сообщить неутешительные новости, о чем и написал в открытке: «Конечно, при первой же встрече я расскажу тебе все подробно. Но сейчас вынужден сообщить тебе только одно, хотя и боюсь, что тебя это встревожит. Один молодой русский, господин П. Урысон из Москвы, прочитал доклад по теории размерности. Насколько я могу судить, результаты у него в точности те же, что и у тебя, и он пришел к ним примерно тогда же, а может быть, и немного раньше» [307] 307 Письмо Шрайера Менгеру, 24 сентября 1923. Menger, 1994. .

«Может быть, и немного раньше»! Это для Менгера был страшный удар. Пока он восстанавливал здоровье на своей «Волшебной горе», Павел Урысон прислал краткое изложение своих результатов в Comptes Rendus de l‘Académie de Paris . Такое официальное оповещение о новых научных результатах имело гораздо больше шансов произвести должное впечатление на научное сообщество, чем запечатанный конверт, который безвестный студент отправил на хранение в венскую академию.

Менгер в отчаянной спешке доработал рукопись. Ган договорился о срочной публикации в Monatshefte , австрийском математическом журнале. И в сноске в конце статьи упоминался зловещий Урысон. Репринты Менгер разослал известным математикам по всему миру.

Судьба распорядилась так, что тем же летом Павел Урысон утонул в коварных волнах Атлантики на побережье Бретани. Его друг Павел Александров, тоже молодой советский математик, присутствовал при этом, но ничего не смог сделать — только вытащил из моря мертвое тело. Статья со всеми подробностями теории размерности Урысона вышла посмертно.

А еще случилось так, что вскоре после этого безвременная смерть настигла и Отто Шрайера — он умер в двадцать восемь лет от заражения крови. Как и Галуа, он считается одной из важнейших фигур в истории современной алгебры. А Карл Менгер, так боявшийся ранней кончины, дожил до восьмидесяти четырех лет — и ему до конца дней не давал покоя вопрос, кому на самом деле принадлежат открытия, поспособствовавшие такому прогрессу в теории размерности. Ах, человеческое эго так хрупко!

В 1924 году, только-только защитив диссертацию, Карл Менгер получил грант Рокфеллера и потратил его на то, чтобы поехать в Амстердам к голландскому математику Л. Э. Я. Брауэру. Брауэр был главным специалистом по той области математики, где работал Менгер. Кроме того, он был главой новой логической школы под названием «интуиционизм». Представления об основаниях математики были у этой группы прямо противоположны формальному подходу Гильберта. По Брауэру, математика целиком и полностью — творение человеческого разума. Она состоит исключительно из ментальных объектов — точек, чисел, множеств и так далее — и всех их надо конструировать. Конструкции требуют эксплицитных рецептов. Если предположение, что объекта не существует , приводит к противоречию, из этого не следует, что объект существует. И хотя почти все математики придерживаются именно такого подхода к доказательству математического существования и его открыто поддерживал Давид Гильберт, Брауэр считал, что это вопиющее нарушение Закона исключенного третьего.

Этот классический закон гласит, что между истинным и ложным нет нейтральной территории. Если данное утверждение ложно, его отрицание истинно, и наоборот. Однако у Брауэра хватило дерзости усомниться в этом священном принципе. Рассмотрим пример.

Вещественное число либо может быть записано как отношение двух целых чисел (например, дробь 2/7), либо нет. В первом случае это рациональное число, во втором — иррациональное. Например, число √2 иррационально, как нам известно уже две тысячи лет, со времен Пифагора и его команды. Предположим, существуют два иррациональных числа x и y , такие, что x y — рациональное число. И вот милое маленькое доказательство: возьмем число √2 √2 — иррациональное в иррациональной степени. Рационально ли это число? Если да, дело сделано. А если оно не рационально? Ну, если оно иррационально, рассмотрим следующее число: (√2 √2 ) √2 — оно имеет форму x y , где, как гласит гипотеза, и x и y иррациональны. Правило, управляющее показателями степени, которое известно нам со школьных уроков алгебры — то есть правило (a b ) c = a bc , — говорит нам, что это число равно (√2) 2 , то есть, естественно, 2 — абсолютно рациональное число. Дело сделано! Либо так, либо иначе, но мы нашли желаемую пару иррациональных чисел x и y.

Давайте еще раз разберем ход мысли. Нам надо рассмотреть два случая. Либо √2 √2 — уже рациональное число, и тогда дело сделано, либо оно иррационально, но тогда рационально число (√2 √2 ) √2 , и дело снова сделано. Мы не знаем, какой из двух путей даст нам желанную пару иррациональных чисел x и y, но для нормального человека это незнание не играет никакой роли. У нас есть железное доказательство: если первоначальный выбор значений x и y не привел к результату, к нему привел альтернативный выбор x и y . Единственная заминка — мы не задали заранее, который из двух альтернативных путей приведет нас к желанным x and y , но разве это важно? Так или иначе, фокус удался.