Андрей Сафонов - Пушистые логарифмы

Как некую альтернативу платонизму можно рассматривать математический логицизм. Он объясняет вечность чисел тем, что законы арифметики целиком сводятся не к метафизике, а к законам формальной логики, а последние не обладают содержанием, а являются лишь формой мышления 3 3 Тут можно вспомнить аналитические суждения Канта, которые в отличии от содержательных синтетических, являются чистой тавтологией, А=А. . Но тут возникает нечто очень странное. Мы выводим числовой ряд путем однообразного алгоритма прибавления единицы – однако получаем в результате удивительное полотно с математическими узорами, которые никак не вяжутся с формально-логическими тавтологиями. К примеру, есть такие числа, как 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 …, их называют простыми. Они делятся только на себя и на единицу. И вот оказывается, что простые числа набросаны во множестве натуральных без всякой логики, словно полезные ископаемые или семена диковинных растений. Откуда они появились в человеческом разуме, до сих пор остается загадкой.

Напрашивается удивительный вывод: наше мышление имеет доступ к информации, которую невозможно получить через органы чувств или вывести чисто логически. Возникают вопросы: каковы же тогда возможности нашего интеллекта и каков источник этого знания?

Натуральные числа – лазейка в интеллектуальный лабиринт, ведущий в глубочайшие тайники человеческого мышления и, по-видимому, самой реальности.

В 6-м классе школьники, как правило, знакомятся с простыми числами. Для тех, кто забыл, напоминаем: натуральными мы называем числа, которые используем для счета предметов: 1, 2, 3, 4, …, 10, 11, 12, 13, 14… и так до бесконечности. Соответственно, все, что не входит в это множество, натуральными числами не является – например, отрицательные числа или дроби.

Простыми мы называем все натуральные числа, которые делятся только на себя и на единицу: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и т. д. Все остальные числа называются составными. Например, 12 = 3 * 2 * 2, т. е. число 12 разбивается на три простых множителя. Аналогично каждое составное число можно «построить» из простых, как из неких первичных кирпичиков. 15 = 3 * 5, 36 = 2 * 2 * 3 * 3 и т. д.

Вроде бы и правда все очень просто.

Однако на деле простые числа оказываются не такими уж простыми. Главная их тайна состоит в том, что за всю историю человечества еще никому не удалось найти закон, по которому они распределены во множестве натуральных чисел. Если, к примеру, все четные числа можно легко задать формулой x = 2 * n, а квадраты – x = n ^ 2, то для простых чисел нет не то что простой формулы, а вообще никакой. Простые числа набросаны во множестве натуральных по какой-то своей непостижимой логике – словно драгоценные камни в земной коре или звезды на небе.

Попытки разгадать логику их расположения предпринимались неоднократно, но дело не шло дальше нахождения отдельных островков, подчиняющихся своим локальным законам. Например, Эйлер нашел многочлен x2 – x +41 при подстановке вместо x чисел от 1 до 40 дающий только простые числа. Впоследствии было найдено множество других аналогичных формул.

И тем не менее было непонятно, является ли наличие подобных скоплений проявлением некой глубинной закономерности или простой случайностью.

Скопления простых чисел можно сравнить с зарослями деревьев, причудливо раскиданных по земле, но однажды кое-кому открылось то, что можно назвать видом с высоты на эти заросли.

В 1963 г. американско-польский математик Станислав Улам присутствовал на одном чрезвычайно скучном научном докладе. От нечего делать он начал записывать натуральные числа спиралью, как показано на рисунке. И вдруг обнаружил нечто такое, что потрясает воображение любого математика: оказалось, что простые числа распределяются на этом рисунке по ровным диагональным, вертикальным и горизонтальным отрезкам. Отрезки эти разной длины, находятся в разных местах, и тем не менее обнаруженная закономерность продолжается на всем множестве чисел. Сколь долго бы мы не продолжали спираль Улама, простые числа будут послушно группироваться в отрезки, и, как оказалось, каждый такой отрезок соответствует какому-то квадратному многочлену наподобие тех, что открыл Эйлер. Простые числа выстраиваются как молнии, переплетаются как неведомые коды и иероглифы из миров, лежащих за пределами человеческого опыта. Откуда они там появились? Почему, монотонно прибавляя единицу, мы получаем эти загадочные структуры, объективные для всех, но существующие только в нашем сознании? Простые числа показывают нам, что для соприкосновения с бездной необязательно лететь в далекие галактики или расщеплять частицы. Мы можем уютно расположиться в кресле и найти эту бездну в нашем собственном разуме.

«И вокруг престола двадцать четыре престола; а на престолах видел я сидевших двадцать четыре старца, которые облечены были в белые одежды и имели на головах своих золотые венцы» . (Откровение от Иоанна 4:4).

24 старца из «Апокалипсиса», 24 часа в сутках, факториал четырех, удвоенная дюжина…

Какие еще тайны скрывает 24?

К примеру, вот такую:

Мы помним, как причудливо раскиданы простые числа во множестве натуральных: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23…

Величайшие математики мира смогли выявить формулы лишь для отдельных небольших островков простых чисел. Но удивительное дело: если мы возведем в квадрат любое простое число начиная с пяти и вычтем из него единицу, то полученный результат будет всегда делиться на 24.

Не на 25, не на 26, не на 27 и т. д., а всегда на 24.

К примеру, пять в квадрате минус один равно 24 – делится. семь в квадрате минус один равно 48 – делится. одиннадцать в квадрате минус один равно 120 – делится. Далее можете проверить сами.

Так почему же именно 24?

Профессор Малаховский – для калининградского физмата фигура почти мифическая. Признанный в мире специалист по дифференциальной геометрии, знаток множества языков, человек, которого однажды в Британии посчитали советским шпионом, герой мистической передачи на канале «Культура» – он напоминает Джона Форбса Нэша из фильма «Игры разума». Малаховский умудряется вовлекать в математику, как в великое путешествие по миру идей. Высокая академическая планка сочетается у него с юношеским пылом и каким-то детским чутьем к чудесному.

Однажды, спустя много лет после окончания универа, поддавшись ностальгии, я сел на трамвай, докатил до математического корпуса БФУ имени Канта и взял следующее интервью: