П Гайденко - История греческой философии в её связи с наукой

К такому выводу относительно пифагорейской математики приходит известный историк математики Оскар Беккер. "У истоков греческой математики, - пишет он, - вероятно, начиная еще с VI века, обнаруживается своеобразный способ рассмотрения, который можно охарактеризовать как полуарифметический полугеометрический. Он состоит в использовании камешков (f¤joi) одинаковой величины и формы (круглых и квадратных), которыми выкладываются фигуры"59.

Действительно, трудно найти этому методу построения фигур из чисел-камешков однозначную характеристику; Г.Г. Цейтен называет его "геометрической арифметикой"60. Видимо, этот метод предполагает допущение, что тела состоят из множества такого рода точечных единиц-монад. При этом, как сообщает Аристотель, единица (mon?j) рассматривалась пифагорейцами как точка, не наделенная особым положением (stigmh ?JetoV), а точка (stigm ) - как единица, имеющая положение (mon?V JЪsin Ьcousa)61.

Открытие

несоизмеримости

Трудно установить, кем и когда была открыта несоизмеримость, но это открытие сыграло важную роль в становлении математики как теоретической науки, ибо вызвало целый переворот в математическом мышлении и заставило пересмотреть многие из представлений, которые вначале казались само собой разумеющимися62.

Следует заметить, однако, что открытие несоизмеримости могло иметь место только там и тогда, где и когда уже возникли основные контуры математики как связной теоретической системы мышления. Ведь только тогда может возникнуть удивление, что дело обстоит не так, как следовало ожидать, если уже есть представление о том, как должно обстоять дело. Не случайно открытие несоизмеримости принадлежит именно грекам, хотя задачи на извлечение квадратных корней, в том числе и EMBED Equation.2 , решались уже в древневавилонской математике, составлялись таблицы приближенных значений корней. По-видимому, открытие несоизмеримости было сделано именно потому, что пифагорейцы с энтузиазмом искали подтверждения главного тезиса их учения "все есть число".

Можно допустить, что пифагорейцы обнаружили несоизмеримость при попытке либо арифметически определить такую дробь, квадрат которой равен 2 (т.е. арифметически вычислить сторону квадрата, площадь которого равна 2); либо геометрически при отыскании общей меры стороны и диагонали квадрата; либо, наконец, в теории музыки, пытаясь разделить октаву пополам, т.е. найти среднее геометрическое между 1 и 2. В любом случае задача предстала перед ними в виде отыскания величины, квадрат которой равен 263.

Несоизмеримость диагонали квадрата со стороной, т.е. иррациональность EMBED Equation.2 , пифагорейцы доказывали, опираясь на главную, с их точки зрения, "онтологическую" характеристику чисел, а именно на деление их на четные и нечетные; доказательство велось от противного: если допустить соизмеримость диагонали и стороны, то придется признать нечетное число равным четному64. Признанию несоизмеримости, однако, предшествовали, по-видимому, попытки преодолеть возникшее затруднение, ибо обнаружение невыразимости в числах отношения диагонали к стороне квадрата наносило удар по основному убеждению пифагорейцев, что "все есть число". Открытие иррациональности, т.е. отношений, не выражаемых <���целыми> числами, вызвало, видимо, первый кризис оснований математики и нанесло удар по философии пифагорейцев. Ибо целое число - ?riJm"V - лежало, согласно Пифагору и его последователям, в основе мироздания; поэтому все пропорции в мире должны были быть выразимы в целых числах. Эта - исторически первая - теория чисел теперь оказалась поставленной под вопрос.

Однако удар, нанесенный раннепифагорейской концепции числа, отнюдь не отменил математической "программы" изучения природы, а только внес в эту программу свои коррективы.

Видимо, последствием открытия иррациональности было усиление тенденции к геометризации математики; появилось стремление геометрически выразить отношения, которые, как оказалось, невыразимы с помощью арифметического числа.

Вместо геометрической арифметики теперь развивается "геометрическая алгебра": величины изображаются через отрезки и прямоугольники, с помощью которых можно было соотносить между собой не только рациональные числа, но и несоизмеримые величины.

Надо полагать, что переход к геометрической алгебре сопровождался также и размышлением по поводу самих оснований пифагорейской математики. Может быть, именно открытие несоизмеримости впервые поставило под вопрос первоначальную пифагорейскую интуицию, что тела состоят из неделимых точек-монад.

Попытки справиться с несоизмеримостью в конце концов привели к формулировке аксиомы Евдокса (ее называют также аксиомой Архимеда), которая легла в основу теории отношений несоизмеримых величин. Эта аксиома приводится Евклидом в четвертом определении V книги "Начал": "Говорят, что величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга". А вот как формулирует Архимед эту аксиому в работе "О шаре и цилиндре" (пятое допущение, или постулат Архимеда): "...б(льшая из двух неравных линий, поверхностей или тел превосходит меньшую на такую величину, которая, будучи складываема сама с собой, может превзойти любую заданную величину из тех, которые могут друг с другом находиться в определенном отношении"65.

Нам представляется, однако, что общее значение открытия иррациональности для развития и математики, и науки в целом не исчерпывается указанными последствиями, хотя внешне выражается прежде всего в них.

Дело в том, что это открытие впервые, быть может, заставило рождающуюся греческую науку сознательно задуматься о своих предпосылках. Ведь те понятия числа, точки, фигуры и т.д., которыми оперировали пифагорейцы первоначально, еще не были логически прояснены и продуманы. Именно в этом, кстати, упрекают пифагорейцев и Платон, и (еще больше) Аристотель. В самом деле, числа у них не отделены от вещей, говорит Аристотель. Но ведь и нельзя сказать, чтобы они у них сознательно и обоснованно отождествлялись с вещами! Вопрос об онтологическом статусе чисел в этом плане просто не возникал, а потому здесь и царила некоторая непроясненность, неопределенность. Далее, Аристотель говорит, что у пифагорейцев фигуры состоят из чисел, как из неделимых пространственных единиц. Но и здесь мы имеем дело с такой же первоначальной непроясненностью: число выступает то как единица, не отнесенная к пространству, к чувственному миру, то как неделимая частица самого этого мира - такова у пифагорейцев точка. Ибо именно так предстает пифагорейцу-математику единица, когда он дает "полуарифметическое - полугеометрическое" (по словам Беккера) начертание "тройки" (рис. 2) и "десятки" (рис. 5).