Л. Науменко - Монизм как принцип диалектической логики

Тот факт, что геометрию можно построить и независимо от этой аксиомы, говорит о том, что геометрию можно построить и независимо от физики нашего повседневного опыта. Эта независимость, конечно, относительна. Но она вполне достаточна для допущения различия между геометрией как физикой и геометрией как математикой, введенного Гельмгольцем.

Геометрия как физика изучает пространственные свойства материальных объектов. Ее положения вытекают из опыта и подтверждаются только опытом. Как и всякие опытные положения, они оказываются истинными лишь приближенно.

Геометрия как математика исследует взаимные логические зависимости пространственных свойств в принятой системе выражения при отвлечении от их физического содержания.

История неевклидовой геометрии свидетельствует о том, что математические истины имеют не только внешний, экзотерический, физический смысл, но и внутренний, собственно математический, эзотерический смысл, что математика относительно самостоятельна, независима, автономна. «... Мы теперь придаем окончательное значение при доказательстве непротиворечивости той или иной системы геометрии лишь “внутриматематическим” их осуществлениям. Например, непротиворечивость Евклидовой геометрии доказывается не на основании экспериментально установленной приближенной ее пригодности в окружающем ее “физическом” пространстве, а существованием ее координатной аналитической модели» [140] Колмогоров А.Н . Лобачевский и математическое мышление девятнадцатого века. В кн.: Николай Иванович Лобачевский. 17931943, М.–Л., 1943, с. 90. .

Все это говорит о том, что реальное физическое пространство может быть описано различными системами геометрий с различными степенями приближения, что каждая из этих систем представляет собой лишь известную абстракцию от реального пространства, что не существует априорной геометрии, выражающей лишь изначальные законы сознания.

Неевклидова геометрия в корне подрывает кантианские воззрения на природу математики. Но в то же время она воздвигает перед материалистической теорией познания определенные трудности. В общем эти трудности упираются в выяснение природы математической абстракции. Ведь тот или иной вид геометрии мы получим в зависимости от того, под каким углом зрения рассматривается объект, от каких допущений мы при этом отталкиваемся.

Здесь налицо уже известная нам проблема «точки зрения» науки на ее объект. Это обстоятельство прекрасно осознается всеми математиками. «... Попробуем, – пишет А. Пуанкаре, – спросить себя: истинна ли Евклидова геометрия? Вопрос не имеет смысла. Это все равно, что спрашивать, верна ли метрическая система мер, а прежние не верны, или верны ли Декартовы координаты, а другие ложны. Одна геометрия не вернее другой, а только более или менее удобна . А Евклидова геометрия была и остается самой удобной» [141] Пуанкаре А . Гипотеза и наука. Москва, 1903, с. 38. .

Здесь перед нами определенное решение проблемы: точка зрения науки задается соображениями удобства.

Вообще говоря, если речь идет лишь о частном вопросе, о применении той или иной системы координат или той или иной системы геометрии, то ответ Пуанкаре, возможно, способен удовлетворить исследователя. Но вопрос стоит здесь в более общей форме: о природе математики и математической абстракции вообще, о проблеме реальности в математике, а в этом случае концепция Пуанкаре совершенно непригодна.

Вопрос о природе математического познания необходимо должен рассматриваться в двух планах: в плане внутренней логики науки и в плане отношения науки в целом к реальности. История неевклидовой геометрии продемонстрировала полную несостоятельность сведéния математики к физике, несостоятельность натуралистических концепций этой науки. По мнению философов-идеалистов, крах натуралистических иллюзий свидетельствует вообще о крахе материалистических позиций в математике вообще, об элиминации второго плана. А это совсем не так.

Математика – не физика. Но и физика – еще не вся реальность. Математическое познание движется в рамках определенной научной абстракции, определенного «среза» реальности, зафиксированного в аппарате этой науки, в системе средств выражения предметных отношений, моделирующей эти последние. При этом сама математика не задается вопросом о природе этой абстракции. А до тех пор, пока она не задается этими вопросами, все ее проблемы остаются собственно математическими. Выявление этого собственно математического аспекта составило важную заслугу неевклидовой геометрии. Однако не к нему сводится все дело.

Обратимся прежде всего к собственно математическому аспекту, оставляя пока в стороне проблему реальности.

В этом аспекте развитие математики подчиняется принципу монизма, требующему развивать науку в ее собственной, присущей ей внутренней связи. В чем же состоит эта «собственная связь»?

Как известно, Н.И. Лобачевский назвал свою геометрию «воображаемой» геометрией, т.е. геометрией «математически возможного» пространства. Однако это пространство он не мог себе представить даже в воображении. То, что математически представлялось ему естественным и необходимым, физически не было ясно ни ему самому, ни, тем более, его современникам.

Но если Лобачевский уже понимал различие, существующее между геометрией как математикой и геометрией как физикой, то этого нельзя сказать о его современниках, даже о таких, как Н.В. Остроградский, которые расценивали «воображаемую» геометрию как продукт больного воображения, как нечто абсурдное и химерическое.

Геометрия Лобачевского для них оказалась недействительной именно потому, что она была недействительна физически, а не математически, потому что описываемое в ней пространство нельзя было наглядно представить как существующее . В действительности же в задачу геометрии как математики и не входит описание существующего физического пространства, если ее рассматривать с имманентной точки зрения. Пространственную модель геометрии как математической системы в одних случаях можно построить, в других это оказывается прямо невозможным.

(Что касается геометрии Лобачевского, то модель плоскости, на которой осуществляются ее теоремы, была построена в 1865 г. итальянским математиком Бельтрами. Это так называемая псевдосферическая поверхность, на которой геометрия Лобачевского осуществляется лишь частично. Более совершенную модель построил позднее Ф. Клейн (геометрия в круге при сохранении неевклидовой метрики). Наконец, для всей геометрии Лобачевского была построена универсальная аналитическая модель – как применение теории Ф. Клейна и С. Ли о группах непрерывных преобразований. Для других, скажем, для бесконечномерных геометрий, построить пространственную модель оказывается вообще невозможным.)