Моррис Коэн - Введение в логику и научный метод

2) Более важным в научном смысле является использование чисел в тех случаях, когда порядок численного увеличения является тем же, что и порядок положения исследуемого свойства на шкале или схеме для определенных качеств. Допустим, нам нужно различить группы предметов по их твердости и мягкости. Мы можем принять следующее определение того, что значит для одного предмета быть жестче другого: алмаз жестче стекла, если алмаз может поцарапать стекло, а стекло не может поцарапать алмаз; предмет будет считаться столь же жестким, как и некоторый другой предмет, если с помощью первого предмета нельзя поцарапать второй, а с помощью второго – первый. В таком случае мы можем расположить предметы по шкале жесткости, если сможем экспериментально показать, что указанное отношение выполняется для каждой тройки различных по жесткости предметов: алмаз жестче стекла, стекло жестче древесины сосны, алмаз жестче древесины сосны. Таким образом, демонстрируется, что отношение «быть жестче, чем» является асимметричным (если В1 жестче, чем В2, то В2 не жестче, чем В1) и транзитивным (если В1 жестче, чем В2, и В2 жестче, чем В3, то В1 жестче, чем В3). Так, мы получаем возможность расставить предметы в линейной последовательности по их жесткости и, тем самым, получить шкалу или схему данного качества.

Теперь представим, что у нас 100 различных по жесткости предметов В1, В2… В100, расставленных в согласии со сформулированными выше условиями, так что В1 является самым жестким, а В100 – самым мягким. Мы можем захотеть приписать им числа для обозначения их относительной жесткости, так чтобы получившийся порядок численного увеличения был таким же, как и порядок увеличения относительной степени жесткости. (Это можно сделать, поскольку отношение увеличения чисел является асимметричным и транзитивным.) Однако какое число приписать предмету В1? Мы можем решить приписать ему число 0, или 1, или 25, или же любое другое число по нашему желанию. Допустим, мы решили приписать число 1 для В1, а В100 – число 100, а также согласились обозначать жесткость В2 числом 2, а жесткость В3 – числом 3 и т. д.

Данный выбор не был вынужденным. Мы вполне могли решить обозначать числом 1 В1, числом 5 – В2, числом 10 – В3 и т. д. Поэтому в терминах процедуры, которой мы следовали, расставляя предметы по шкале жесткости, нет никакого значения, которое можно было бы приписать утверждению о том, что В50 в два раза мягче, чем В25. Данное утверждение не обладает значением, поскольку при расстановке предметов по шкале единственными определяемыми отношениями являются отношения транзитивности и асимметричности применительно к возможности поцарапать один предмет другим. В приведенном утверждении неверно предполагается, что, поскольку один предмет располагается «выше» по шкале, чем другой предмет, он «содержит» больше того, что мы называем «жесткостью». Также в приведенном утверждении на том основании, что один предмет якобы содержит больше этого свойства, неверно предполагается, что он содержит определенное количество единиц этого свойства. Оба эти предположения должны беспощадно элиминироваться, ибо они происходят из ошибочной идеи о том, что жесткость является чем-то, что можно складывать. Однако ничто в процессе создания шкалы не подтверждает данной идеи. Жесткость и мягкость, так же как и температура, форма, плотность, ум, вежливость, являются несуммируемыми качествами. Такие качества зачастую называются интенсивными. Их можно измерить только в смысле выстраивания различных степеней данного качества в некоторой последовательности. Относительно подобных качеств вопросы о том, насколько больше или во сколько раз больше, являются бессмысленными.

Обратимся к третьему способу использования чисел. Иногда числа применяются для измерения количественных отношений в строгом смысле, т. е. так, что на вопросы «сколько» и «на сколько» могут быть даны ответы. Предположим, что мы рассматриваем набор предметов и хотим измерить их вес. Для того чтобы это сделать, мы должны, во-первых, построить шкалу или схему весов, похожую на ту, которую мы строили для измерения жесткости. Мы можем, к примеру, согласиться с тем, что предмет R тяжелее, чем какой-то другой предмет R тяжелее, чем какой‑то другой предмет S , если при размещении R и S на разных сторонах рычажных весов сторона, на которой находится предмет R , оказывается ниже противоположной. Далее мы должны экспериментально установить, что отношение «быть тяжелее, чем» является транзитивным и асимметричным. Мы также оговорим, что предмет R имеет тот же вес , что и предмет R ′, если R не тяжелее R ′ и R ′ не тяжелее R ; это значит, что ни одна сторона весов не оказывается ниже противоположной, когда на них кладутся R и R ′.

Мы можем построить не только шкалу степеней веса. Мы также можем отыскать интерпретацию в терминах некоторой операции с предметами для утверждения, в котором говорится, например, о том, что один предмет весит в три раза больше другого. Такая интерпретация возможна, поскольку веса можно складывать. Физический процесс сложения заключается в помещении двух или более весов вместе на одну из сторон взвешивающего устройства. Теперь рассмотрим три предмета В, В\', В", которые являются одинаково тяжелыми, и положим их на одну сторону весов; на другую сторону мы положим предмет С так, чтобы было установлено равновесие. Тогда предмет С будет таким же тяжелым, как три предмета В, В\', В", взятые вместе, и его вес будет в три раза больше, чем вес каждого из трех предметов. Данная процедура может быть расширена для определения последовательности стандартных весов. В терминах данной процедуры можно осмысленно говорить, что один объект в n раз тяжелее или 1/n раз тяжелее другого объекта.

Однако мы пока еще недостаточно убедились в том, что числа, приписываемые подобным образом предметам, обладают всеми своими известными значениями. Мы показали, что вес, в отличие от тяжести, является суммируемым свойством. Нам нужно также показать, что числа, приписываемые весам, совместимы с самими собой, и сделать это придется опять с помощью эксперимента. Мы должны убедиться в том, что мы не допускаем ситуации, когда различные числа приписываются одним и тем же весам. Так, предположим, вес определенного объекта А рассматривается как определенная единица измерения или 1, и что мы с помощью этого процесса можем приписывать веса другим объектам так, что А2 будет обладать весом 2, А4 – весом 4, а А6 – весом 6. Можем ли мы быть уверены в том, что А2 и А4, будучи размещенными на одной стороне весов, окажутся на том же уровне, что и А6, если его поместить на противоположную сторону? Очень важно отметить, что мы не можем быть уверены в этом до тех пор, пока мы не проведем соответствующего эксперимента. Суждение о том, что 2 + 4 = 6, может быть доказано чисто арифметически без какого-либо эксперимента. Однако до тех пор, пока мы не проведем соответствующих экспериментов, мы не можем быть уверены в том, что физическая операция сложения весов согласуется с известными свойствами чисто арифметического сложения. Физическая операция сложения весов обладает обычными формальными свойствами арифметического сложения только в некоторых случаях, а не во всех: рычажные весы должны быть правильно сконструированы, стороны рычага должны быть одинаковой длины и т. д.