Моррис Коэн - Введение в логику и научный метод

Следовательно, в S есть по меньшей мере семь элементов.

Теорема VI. Класс S, выполняющий условия всех семи допущений, содержит не более семи элементов.

Доказательство . Допустим, имеется восьмой элемент Т. Тогда 1-класс, детерминируемый с помощью АТ и BFG, должен будет обладать общим элементом. Этим элементом не может быть В, т. к. элементы АВ детерминируют 1-класс, элементами которого являются ABD, так что ABTD должны будут принадлежать этому же 1-классу, что невозможно, согласно аксиоме. Этим элементом не может быть и F, ибо тогда AFTE должны будут принадлежать 1-классу AEF; этим элементом не может быть и G, т. к. тогда AGTC должны будут принадлежать 1-классу AGC; все эти результаты невозможны по той же причине (аксиома 7').

Следовательно, поскольку существование восьмого элемента противоречит аксиоме 7', то такой элемент не может существовать.

Мы представили миниатюрную математическую систему в виде гипотетико-дедуктивной науки. Проведенная дедукция никак не опирается на эксперимент, наблюдение или какие-либо элементы чувств. Читатель смог ощутить вкус чистой математики. Вопрос же о том, соответствует ли что-либо в существующем мире данной системе, требует эмпирического знания. Если окажется так, что нечто ей действительно соответствует, то такая часть реального мира должна обладать тем систематическим характером, который был символически выражен нами выше. При этом верифицировать то, что мир на самом деле содержит подобную структуру, мы сможем лишь в пределах погрешности используемой нами экспериментальной процедуры.

Теперь мы хотим показать, что абстрактное множество, подобное рассмотренному в предыдущем параграфе, может обладать более чем одной конкретной репрезентацией, и что эти различные репрезентации, являясь крайне непохожими по своему материальному содержанию, будут тождественными относительно логической структуры.

Допустим, существует банк, состоящий из семи партнеров. Чтобы обеспечить себя экспертной информацией относительно различных ценных бумаг, партнеры решают сформировать семь комитетов, каждый из которых будет исследовать отдельную область. При этом они соглашаются, что каждый из партнеров будет председателем одного комитета и что каждый из партнеров будет членом трех, и только трех, комитетов. Ниже приводится таблица комитетов и их членов, где для каждого комитета первый из перечисленных членов является председателем:

Видно, что данная таблица выполняет семь аксиом, если класс S рассматривать как банк, его элементы как партнеров, а 1-классы – как различные комитеты.

Предложим еще одну интерпретацию, которая, на первый взгляд, не имеет ничего общего с уже предложенными примерами. В приведенной ниже фигуре на каждой из семи линий расположено по три точки. Одна из линий согнута. Пусть каждая точка представляет элемент S, а каждое множество из трех точек, лежащих на одной линии, представляет 1-класс. Тогда выполняются все семь допущений.

Данная геометрическая модель является примером тех же формальных отношений, что присутствуют и в наборе чисел, и в таблице банковских комитетов, которую мы уже рассмотрели. Третья репрезентация находится на с. 214.

Рассмотрим три данные репрезентации. Мы обнаруживаем, что, во-первых, мы можем сопоставить один к одному каждый из элементов одной интерпретации с элементами других двух. Во-вторых, каждое отношение между элементами в одной интерпретации соответствует отношению с теми же логическими свойствами между соответствующими элементами других двух интерпретаций. Так, например, элемент 0 из нумерической интерпретации может быть сопоставлен с точкой А в геометрической интерпретации, а также с мистером Адамсом из банковской конторы; элемент 1 соответствует точке В, а также мистеру Брауну и т. д. А трехместное отношение между числами 0, 1, 3 (с. 218), в силу которого они принадлежат одной и той же группе, соответствует отношению между точками ABD, в силу которого они лежат на одной линии, а также отношению между Адамсом, Брауном и Смитом, в силу которого они находятся в одном комитете и т. д.

Две или более системы, связанные подобным отношением, называются изоморфными , или обладающими тождественной структурой или формой . Теперь мы можем предложить общее определение термину «изоморфизм» . Даны два класса: S с элементами a, b, c … и S′ с элементами a ′ , b ′ , c ′…; допустим, что элементы S могут быть взаимно однозначно сопоставлены с элементами S ′, так что, например, а соответствует а ′, b соответствует b ′ и т. д. Тогда, если для каждого отношения R между элементами S (таким, что, например, aRb ) существует отношение R ′ между соответствующими элементами S ′ ( a ′ R ′ b ′), то данные два класса являются изоморфными .

На данном этапе мы достаточно подготовлены для того, чтобы усвоить огромную важность математического метода как инструмента естественных наук. Во-первых, гипотеза, или набор допущений, может изучаться на предмет ее импликаций без постановки вопросов материальной истинности или ложности. Данное обстоятельство важно для понимания того, какие обязательства мы принимаем, соглашаясь с такой гипотезой. Во-вторых, абстрактно сформулированная гипотеза может обусловить более чем одну конкретную репрезентацию. Следовательно, изучая чистую математику, мы изучаем возможные структуры многих конкретных ситуаций. Тем самым мы обнаруживаем тот неизменный, или инвариантный фактор, присутствующий в ситуациях, которые по-разному ощущаются и претерпевают изменения. Наука иногда определяется как поиск системы (порядка или постоянства) среди непохожести и изменения. Идея изоморфизма является наиболее ясным выражением того, что имеется в виду под подобной системой.

Некоторые примеры изоморфизма хорошо известны. Обычная карта является полезным инструментом, поскольку отношения между изображенными на ней точками имеют структуру, тождественную отношениям между пунктами на местности, которой соответствует карта. В физике мы можем наблюдать, как формула обратных квадратов применяется относительно электрического притяжения и отталкивания, равно как и относительно гравитационной силы. Это возможно потому, что данные различные предметные области обладают тождественной формальной структурой в отношении исследуемых свойств. Физика также обнаруживает, что этот же набор принципов применим относительно движения планет, падения слезинки и колебания маятника. Именно обнаруживаемый в различных предметных областях изоморфизм обусловливает современную теоретическую науку. Элементарное изображение «словаря» по переводу теорем евклидовой геометрии в теоремы неевклидовой геометрии можно найти в книге А. Пуанкаре «Основания науки». С абстрактной точки зрения эти разные геометрии обладают тождественной структурой.