Моррис Коэн - Введение в логику и научный метод

Следует отметить, что две системы могут не обладать структурами, тождественными на всем их масштабе, но при этом иметь общие свойства. Евклидовы и неевклидовы геометрии обладают многими общими теоремами, и в то же время некоторые теоремы одной системы формально несовместимы с некоторыми теоремами другой системы. Из сказанного следует, что целиком две системы могут быть несовместимыми друг с другом, но при этом обладать общей подсистемой. Это можно проиллюстрировать следующим образом. Рассмотрим систему, детерминируемую аксиомами 1′—7′ Рассмотрим также систему, получаемую при замене 7′ на допущение 7′′ ни один l‑класс не содержит более четырех элементов S . Данные две системы не являются изоморфными, что видно из сравнения репрезентации первой системы (с. 218) с репрезентацией второй системы (с. 220). Тем не менее, все теоремы в обеих системах, выводимые из первых шести аксиом, будут одними и теми же. Система, детерминируемая аксиомами 1′—6′, таким образом, является общей подсистемой для несовместимых систем, детерминируемых аксиомами 1′—7′ с одной стороны, и аксиомами 1′—7′′—с другой.

Проведенное наблюдение имеет большую важность. Исследования в естественных науках зачастую подталкивают нас к мнению, что теория является истинной, потому что некоторое следствие этой теории было подтверждено. Тем не менее, точно такое же следствие может быть выведено и из альтернативной теории, несовместимой с данной. Поэтому мы не можем обоснованно утверждать истинность ни одной из двух теорий. Однако, будучи достаточно внимательными, мы можем обнаружить те допущения, которые являются общими для обеих теорий и на которые опираются тождественные следствия. Тогда можно будет установить также и то, какие из допущений, в силу которых данные теории являются разными, не согласуются с экспериментальными данными.

В отношении дедуктивных систем следует сделать еще одно замечание. Любая система по необходимости является абстрактной: она представляет структуру некоторых отдельных отношений и поэтому в ней не должны учитываться какие-либо другие отношения. Поэтому системы, изучаемые в физике, не включают в себя системы, исследуемые в биологии. Более того, как мы уже могли убедиться, система является дедуктивной не в силу какого-либо конкретного значения ее терминов, а в силу универсальных отношений между ними. Специфическое качество вещей, на которые могут указывать термины, само по себе не играет никакой роли в системе. Так, в теории теплоты не учитываются уникальные чувственные качества, демонстрируемые явлениями теплоты. Дедуктивная система, таким образом, является абстрактной вдвойне: она абстрагируется от специфических качеств предметной области, а также выбирает одни отношения и пренебрегает другими. Из этого следует, что различных систем может быть очень много, и каждая из них может быть исследована отдельно от остальных. Не исключено, что такая множественность систем может конституировать множество подсистем, относящихся к одной всеобъемлющей системе. Однако у нас недостаточно оснований, чтобы считать, что такая всеобъемлющая система на самом деле имеет место. В любом случае, для адекватного исследования любой из менее содержательных систем знания такой всеобъемлющей системы не требуется. Выходит, что человеческое знание о естественном мире возможно только потому, что естественный мир можно исследовать с помощью множества относительно автономных систем.

Мы уже сказали, что в любой дедуктивной системе некоторые суждения являются недоказуемыми в этой системе и что некоторые термины являются неопределимыми. Также мы сказали, что суждение, являющееся аксиомой в одной системе, может быть теоремой в другой. Теперь мы хотим проиллюстрировать сказанное.

Рассмотрим нижеследующие допущения относительно класса S ; его элементы: A, B, C и т. д., его l‑классы (или l‑подклассы ): a, b, c и т. д.

Аксиома 1′′′. Если a и b являются различными l‑классами S , то существует по меньшей мере один элемент S , принадлежащий a и b .

Аксиома 2′′′. Если a и b являются различными l‑классами S , то существует не более одного элемента S , принадлежащего а и b .

Аксиома 3′′′. Любые два элемента S являются элементами некоторого одного l‑класса S .

Аксиома 4′′′. Существует по меньшей мере один элемент S .

Аксиома 5′′′. Каждый элемент S принадлежит по меньшей мере к трем l‑классам S .

Аксиома 6′′′. Не существует элемента S , принадлежащего всем l‑классам S .

Аксиома 7′′′. Не существует элемента S , который принадлежал бы более чем к трем l‑классам S .

Ни одна из этих аксиом не тождественна какой-либо аксиоме из предшествующего набора аксиом, хотя некоторые новые аксиомы тождественны (не считая их вербальной формы) некоторым теоремам, доказанным нами ранее. Так, аксиома 3′′′ тождественна теореме I, а аксиома 4′′′– части теоремы III. Тем не менее, предыдущий набор аксиом и данный набор аксиом характеризуют одну и ту же систему отношений. Эти два множества являются эквивалентными. Два набора постулатов эквивалентны, если, и только если, каждый постулат из первого набора является либо постулатом, либо теоремой из второго набора и каждый постулат из второго набора является либо постулатом, либо теоремой из первого. Эквивалентность двух вышеприведенных наборов постулатов может быть показана посредством выведения из первого набора тех постулатов второго набора, которые еще не были доказаны, и выведения из второго набора всех постулатов первого. Так, аксиома 1′следует из аксиомы 3′′′ аксиома 5′следует из аксиом 1′′′—5′′′ и т. д.

Читателю важно усвоить то, что не существует недоказуемых по своей природе суждений. Неспособность осознать данное обстоятельство является причиной убежденности в существовании «самоочевидно истинных» суждений. Несложно стать жертвой ошибочного предубеждения о том, что суждение является недоказуемым, если его нельзя доказать на одном наборе допущений. Более того, тот факт, что две системы могут быть эквивалентными и при этом не быть тождественными, проливает свет на вопрос о логическом предшествовании. В одной системе некоторое суждение логически предшествует другому, если требуется, чтобы первое суждение было посылкой или частью посылки для получения второго. Однако в другой системе отношение логического предшествования между двумя суждениями может быть обратным.