Знание-сила, 2008 № 06 (972)

Греки развили этот метод настолько удачно, что в течение следующих двух тысяч лет понятие доказательности как в жизни, так и в математике, оставалось неизменным. Логический аппарат долгое время считался более или менее завершенным; средневековые теологи и схоласты использовали работы Аристотеля (относясь к ним как к догме, уступающей разве что Писанию, да и то в попытках их примирить приходилось идти на взаимные уступки) и не ожидали, что к этому стройному и законченному зданию понадобится что-то еще пристраивать.

Однако в конце XIX — начале XX века логика пережила невиданную по своим масштабам и значению перестройку. Вначале преобразования казались несущественными и заключались в активном использовании символьной записи в логических исследованиях. Разработанная в 1840-х — 1870-х годах позапрошлого века Джорджем Булем и затем развитая другими учеными (например, Георгом Кантором) символьная запись логических рассуждений оказалась очень удобной и быстро завоевала популярность, превратив формальную логику в символьную.

Символьная «революция» в логике совпала по времени со столь же революционными преобразованиями в математике (очевидно, это не было случайным совпадением, но что было причиной, а что следствием — сказать трудно). Основным признаком этих преобразований стало качественное повышение требований к строгости доказательств.

Эйлер, как известно, очень вольно обходился со сходимостями рядов. Гюйгенс и даже Ньютон не очень старались представить доказательство в современном виде — они искали конструкцию решения, а затем приводили некоторые соображения в пользу того, что конструкция эта решает поставленную задачу. И если Эйлер и Ньютон обычно бывали правы — их математической интуиции можно только позавидовать, — то у простых смертных такие «прыжки веры» могли привести к печальным последствиям. Поэтому Карл Вейерштрасс выступил инициатором абсолютной логической стройности математических определений доказательств. Именно тогда сложилось современное понятие математического доказательства, современные стандарты убедительности и строгости математического труда.

Обратите внимание: только в середине XIX века! К тому времени уже был разработан математический анализ, вовсю решались дифференциальные уравнения, математика уже стала основой физики, Максвелл примерно в то же время писал свои уравнения... А строгих доказательств до сих пор не было. «Эпсилон-дельта нотацию» ввел в анализ Огюст Коши незадолго до Вейерштрасса. До этого в трудах даже ведущих математиков нередко встречались, по современным критериям, «расплывчатые соображения» и нестрогие рассуждения — то, что Дмитрий Дмитриевич называет «филологией».

Значит ли это, что до XIX века математики не существовало? Конечно, нет. Значит ли это, что до XIX века она была (большей частью) нестрогой и не имела доказательной силы? Здесь, подозреваю, мнения могут разойтись. На мой взгляд, все было в порядке. Доказательства выполняли свою основную функцию: они убеждали других математиков, что тот или иной факт верен, и позволяли им пользоваться этим фактом для дальнейшего развития теории.

Поиск блох попал в повестку дня только тогда, когда блохи совсем уж начали заедать: тот же Вейерштрасс был автором многих «странных» примеров, вроде примера непрерывной нигде не дифференцируемой функции. Один из величайших гениев в истории математики Анри Пуанкаре, кстати, очень не любил такие примеры, называл их «язвой», а кантовскую теорию множеств — естественное продолжение нового уровня строгости — считал «смертельной болезнью математики». Пуанкаре, конечно, простительно, хотя и он не без греха: четыре года был уверен, что доказал свою знаменитую гипотезу, и только потом нашел ошибку.

Не будем дальше излагать здесь историю понятия математического доказательства: к XX веку она плавно перетекает в историю матлогики, и не о ней сейчас речь, хотя история преинтересная, и в другой раз мы обязательно к ней вернемся. История попыток создания логических оснований математики — это даже не детектив, а остросюжетный триллер: Рассел пишет письмо Фреге, из-за которого последнему приходится срочно переписывать уже почти сданную в печать книгу, Гильберт прерывает курс матлогики, узнав о теореме Геделя о неполноте... но хватит, увлекся. Вернемся к нашим математикам, которых нужно убедить в истинности того или иного утверждения. В последнее время понятие доказательности снова начинает меняться...

Карл Вейерштрасс

Анри Пуанкаре

Совершенно очевидно, что любое нетривиальное математическое доказательство опирается на массу утверждений, доказанных ранее, и прямое сведение к аксиомам обычно крайне трудно. Вообще говоря, в большинстве случаев это и не нужно: для доказательства утверждение сводят к уже доказанным фактам. Ключевой фактор для психологической убедительности такого метода состоит в том, что любой желающий может при желании разобраться до конца; конечно, под «любым желающим» уже давно подразумевается квалифицированный математик, но это не важно.

Важно другое. Современные математические доказательства становятся все сложнее и сложнее; они из явлений индивидуального опыта постепенно становятся явлениями опыта коллективного. Само понятие убедительности начинает терять этот индивидуальный оттенок — «если я захочу, я смогу разобраться до конца» — и все больше приобретает характер «коллективной убедительности». Доказательство становится убедительным не для отдельного математика, а для некоторого научного коллектива. Я могу проверить эту часть доказательства, но она опирается на утверждения, доказательства которых мне неизвестны; они известны другим моим коллегам, и я верю им, что эти доказательства правильны. Смысл коллективной убедительности в том, что для каждой составной части доказательства найдется свой «отвечающий за нее» член коллектива, для которого непосредственно убедительна именно эта часть (а другие участники полагаются на него в данном вопросе).

Непревзойденный пример такого доказательства — теорема о классификации конечных простых групп. Хотя отдельные небольшие кусочки этого доказательства несложно проверить квалифицированному алгебраисту, полностью его до недавнего времени понимали чуть ли не только его авторы. Однако приходилось верить, а иногда и пользоваться этим результатом.