Знание-сила, 2008 № 06 (972)

Здесь хочется процитировать автора, которого уважает даже Дмитрий Дмитриевич. Иммануил Кант называл математику «гордостью человеческого разума» и говаривал: «В любой науке столько истины, сколько в ней математики». В «Критике чистого разума» Кант раскрывает свою мысль подробнее:

«Разум в своем эмпирическом применении не нуждается в критике, потому что его основоположения постоянно проверяются критерием опыта; точно так же не нужна критика его и в математике, где понятия должны тотчас же быть показаны in concrete в чистом созерцании и тем самым все необоснованное и произвольное сразу обнаруживается... Математика дает самый блестящий пример чистого разума, удачно расширяющегося самопроизвольно, без помощи опыта. Примеры заразительны, особенно для одной и той же способности, которая, естественно, льстит себя надеждой достигнуть и в других случаях такого же успеха, какой выпал на ее долю в одном случае. Поэтому чистый разум надеется в трансцендентальном применении столь же удачно и основательно расшириться, как это ему удалось в математике, в особенности если он применит тот же метод, который принес столь очевидную пользу в математике».

Суть ясна: для Канта математика — очевидный и первейший пример торжества «чистого разума», и он надеется поднять остальные методы рассуждений до этого идеала. Однако так ли все безупречно, как нам хотелось бы верить? Примем, что понятие истины в математике действительно не имеет отношения к описанию окружающего мира, а фактически сводится к понятию математического доказательства; если мы сейчас ударимся в обсуждение соотношения реального и идеального миров, мы не то что до истины, а и до конца статьи добраться не сможем. Но даже с доказательствами, увы, все не так очевидно. Чтобы понять, как сейчас обстоят дела и куда мы катимся, придется начать с самого начала.

Математикам (как и представителям всех остальных областей знания) требуется передавать информацию о своих достижениях окружающим, причем достижения эти зачастую не так уж непосредственно очевидны. Иными словами, математик должен доказывать свои утверждения. Что же это значит? Хотя доказательство — центральное понятие математики, точного и универсального определения не найти; можно определить математическую модель доказательства так, как это обычно делают в матлогике, но ведь на самом деле доказательство — это социокультурный, психологический феномен. На этом, самом базовом, уровне понятие доказательства напрямую связано с понятием убедительности: задача доказательства в том, чтобы убедить воспринявшего доказательство поверить в то, что исходное утверждение верно. Более того, желательно убедить настолько хорошо, чтобы поверивший сам смог убеждать других.

Психологическая убедительность зависит и от эпохи, и от социальной среды, и от того миллиона других факторов, которые влияют на мировоззрение человека. Для средневекового схоласта убедительность имела совсем другую природу, чем для натуралиста Нового времени, хотя логика у них была общая, аристотелевская. Поэтому неудивительно, что и в математике доказательства и доказательность радикально изменялись со временем.

История западного научного знания началась в Древнем Египте. Там математические тексты представляли собой изложение материала вообще безо всякого доказательства в современном понимании. Проще говоря, в египетском тексте говорится, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 прямоугольный, но никакой попытки как-то обосновать это сомнительное утверждение не делается. Многие исследователи полагают, что для египтян с их сильной теократией и замкнутой кастой образованных людей достаточно убедительным был сам факт того, что утверждение записано на папирусе. Помимо траты ценного материала, запись сама по себе служила гарантией, что она исходит от авторитетного человека. Запомните это — к египетскому понятию убедительности мы еще вернемся.

А пока — лирическое отступление. Запись доказательства в Древней Индии чем-то напоминает египетскую, но под ней чувствуется куда более живая традиция. Сохранившиеся тексты и иллюстрации подчеркивают роль озарения и наглядности в их математике (или, по крайней мере, в обучении математике). Например, традиционный индийский текст по геометрии — это рисунок с лаконичным комментарием: «Смотри!» Это «Смотри!» и есть суть восточного подхода: убедительность достигается через наглядность (на рисунке обычно уже есть все вспомогательные построения), детали же собственно умозаключений не выписаны, а оставлены читателю (точнее, зрителю) «в качестве упражнения». Хочется вспомнить умное слово «суггестивность» и связать все это с восточной (особенно китайской) созерцательной традицией в искусстве, но здесь я боюсь что-либо утверждать. Порох, однако же, китайцы придумали с практическими целями, да и теорему об остатках во вполне современном виде Сунь Цзы излагал во времена если не Платона, то Плотина.

Аристотель

Логика — одна из самых древних наук. По современным представлениям, рождение логики связано с деятельностью софистов в Древней Греции в IV — V веках до новой эры: они создали логику как науку и активно использовали ее, в частности, для обучения ведению судебных споров. К этой же эпохе относится и деятельность первого ученого, систематизировавшего разрозненные логические знания — «отца логики» (да и вообще отца научного метода) Аристотеля.

В Древней Греции, где египетское доверие к априорным авторитетам было уже изрядно подорвано (его в республике с открытой судебной системой, где красноречие ценилось выше многих других достоинств, и быть не могло), записать что-нибудь на папирусе было явно недостаточно. Нужно было формулировать свои мысли так, чтобы они звучали убедительно, причем слушатель имел возможность сравнить аргументацию разных ораторов. Отсюда происходит зарождение логики у Сократа и окончательное оформление ее в виде науки у Аристотеля, а греческие представления о доказательстве, по сути, мало отличаются от современных: греки заложили основу дедуктивного метода (не путать с Шерлоком Холмсом — у него метод как раз индуктивный, Конан Дойль, как известно, перепутал).

Однако дедуктивный вывод должен был на что-то опираться; отсюда в Греции возникает идея аксиом — тех утверждений, из которых должны следовать все остальные. Убедительно (следовательно, доказуемо) то, что может быть получено «законным рассуждением» из аксиом, которые очевидны и общепризнанны.