Знание-сила, 1999 №01

Так и вышло: преемником Эйлера в теории чисел стал француз Адриен Лежандр. В конце XVIII века он завершил доказательство теоремы Ферма для степени 5 – и хотя потерпел неудачу для больших простых степеней, но составил очередной учебник теории чисел. Пусть его юные читатели превзойдут автора так же, как читатели «Математических принципов натурфилософии» превзошли великого Ньютона! Лежандр был не чета Ньютону или Эйлеру, но среди его читателей оказались два гения: Карл Гаусс и Эварист Галуа.

Столь высокой кучности гениев способствовала Французская революция, провозгласившая государственный культ Разума. После этого каждый талантливый ученый ощутил себя Колумбом или Александром Македонским, способным открыть или покорить новый мир. Многим это удавалось; оттого в XIX веке научно- технический прогресс сделался главным движителем эволюции человечества, и все разумные правители (начиная с Наполеона) сознавали это.

Гaycc по характеру был близок к Колумбу. Но он (как и Ньютон) не умел пленять воображение правителей или студентов красивыми речами, и потому ограничил свои амбиции сферой научных понятий. Здесь он мог все, чего хотел. Например, древняя задача о трисекции угла почему-то не решается с помощью циркуля и линейки. С помощью комплексных чисел, изображающих точки плоскости, laycc переводит эту задачу на язык алгебры – и получает общую теорию выполнимости тех или иных геометрических построений. Так одновременно появились строгое доказательство невозможности построения циркулем и линейкой правильного 7- или 9- угольника и такой способ построения правильного 17-угольника, о котором не мечтали самые мудрые геометры Эллады.

Конечно, такой успех не дается даром: приходится изобретать новые понятия, отражающие суть дела. Ньютон ввел три таких понятия: флюксию (производную), флюенту (интеграл) и степенной ряд. Их хватило для создания математического анализа и первой научной модели физического мира, включающей механику и астрономию. laycc тоже ввел три новых понятия: векторное пространство, поле и кольцо. Из них выросла новая алгебра, подчинившая себе греческую арифметику и созданную Ньютоном теорию числовых функций. Оставалось еще подчинить алгебре логику, созданную Аристотелем: тогда можно будет с помощью расчетов доказывать выводимость или невыводимость любых научных утверждении из данного набора аксиом! Например, выводится ли теорема Ферма из аксиом арифметики, или постулат Евклида о параллельных прямых-из прочих аксиом планиметрии?

Эту дерзкую мечту Гаусс не успел осуществить – хотя продвинулся он далеко и угадал возможность существования экзотических (некоммутативных) алгебр. Построить первую неевклидову геометрию сумел только дерзкий россиянин Николай Лобачевский, а первую некоммутативную алгебру (Теорию Групп) – француз Эварист Галуа. И лишь много позже смерти Гаусса – в 1872 году – юный немец Феликс Кляйн догадался, что разнообразие возможных геометрий можно привести во взаимно-однозначное соответствие с разнообразием возможных алгебр. Попросту говоря, всякая геометрия определяется своей группой симметрий – тогда как общая алгебра изучает все возможные группы и их свойства.

Но такое понимание геометрии и алгебры пришло гораздо позже, а штурм теоремы Ферма возобновился еще при жизни Iaycca. Сам он пренебрег теоремой Ферма из принципа: не царское это дело – решать отдельные задачи, которые не вписываются в яркую научную теорию! Но ученики Гаусса, вооруженные его новой алгеброй и классическим анализом Ньютона и Эйлера, рассуждали иначе. Сначала Петер Дирихле доказал теорему Ферма для степени 7, используя кольцо целых комплексных чисел, порожденных корнями этой степени из единицы. Потом Эрнст Куммер распространил метод Дирихле на ВСЕ простые степени (!) – так ему сгоряча показалось, и он восторжествовал. Но вскоре пришло отрезвление: доказательство проходит безупречно, только если всякий элемент кольца однозначно разлагается на простые множители! Для обычных целых чисел этот факт был известен еше Евклиду, но только Гаусс дал его строгое доказательство- А как обстоит делос целыми комплексными числами?

Согласно «принципу наибольшей пакости», там может и ДОЛЖНО встретиться неоднозначное разложение на множители! Как только Куммер научился вычислять степень неоднозначности методами математического анализа, он обнаружил эту пакость в кольце для степени 23. Гаусс не успел узнать о таком варианте экзотической коммутативной алгебры, но ученики Гаусса вырастили на месте очередной пакости новую красивую Теорию Идеалов. Правда, решению проблемы Ферма это не особенно помогло: только стала яснее ее природная сложность.

На протяжении XIX века этот древний идол требовал от своих почитателей все новых жертв в форме новых сложных теорий. Не удивительно, что к началу XX века верующие пришли в уныние и взбунтовались, отвергая былой кумир. Слово «ферматист» стало бранным прозвищем среди профессиональных математиков. И хотя за полное доказательство теоремы Ферма была назначена немалая премия, но ее соискателями выступали в основном самоуверенные невежды. Сильнейшие математики той поры – Пуанкаре и Гильберт – демонстративно сторонились этой темы. В 1900 году Гильберт не включил теорему Ферма в перечень двадцати трех важнейших проблем, стоящих перед математикой XX века. Правда, он включил в их ряд общую проблему разрешимости диофантовых уравнений. Намек был ясен: следуйте примеру Гаусса и Галуа, создавайте общие теории новых математических объектов! Тоша в один прекрасный (но не предсказуемый заранее) день старая заноза выпадет сама собой.

Именно так действовал великий романтик Анри Пуанкаре. Пренебрегая многими «вечными» проблемами, он всю жизнь изучал СИММЕТРИИ тех или иных объектов математики или физики: то функций комплексного переменного, то траекторий движения небесных тел, то алгебраических кривых или гладких многообразий (это многомерные обобщения кривых линий). Мотив его действий был прост: если два разных объекта обладают сходными симметриями – значит, между ними возможно внутреннее родство, которое мы пока не в силах постичь! Например, каждая из двумерных геометрий (Евклида, Лобачевского или Римана) имеет свою фуппу симметрий, которая действует на плоскости. Но точки плоскости суть комплексные числа: таким путем действие любой геометрической группы переносится в безбрежный мир комплексных функций. Можно и нужно изучать самые симметричные из этих функций: АВТОМОРФНЫЕ (которые подвластны группе Евклида) и МОДУЛЯРНЫЕ (которые подчиняются группе Лобачевского)!

А еше на плоскости есть эллиптические кривые. Они никак не связаны с эллипсом, но задаются уравнениями вида Y 2 = АХ 3 + ВХ 2 + СХ и потому пересекаются с любой прямой в трех точках. Этот факт позволяет ввести среди точек эллиптической кривой умножение – превратить ее в группу. Алгебраическое устройство этой группы отражает геометрические свойства кривой; может быть, она однозначно определена своей группой? Этот вопрос стоит изучить, поскольку для некоторых кривых интересующая нас группа оказывается модулярной, то есть она связана с геометрией Лобачевского…