Знание-сила, 1999 №01

Так рассуждал Пуанкаре, соблазняя математическую молодежь Европы; но в начале XX века эти соблазны не привели к ярким теоремам или гипотезам. Иначе получилось с призывом Гильберта: изучать общие решения диофантовых уравнений с целыми коэффициентами! В 1922 году молодой американец Льюис Морделл связал множество решений такого уравнения (это – векторное пространство определенной размерности) с геометрическим родом той комплексной кривой, которая задается этим уравнением. Морделл пришел к выводу, что если степень уравнения достаточно велика (больше двух), то размерность пространства решений выражается через род кривой, и потому эта размерность КОНЕЧНА. Напротив – в степени 2 уравнение Пифагора имеет БЕСКОНЕЧНОМЕРНОЕ семейство решений!

Конечно, Морделл видел связь своей гипотезы с теоремой Ферма. Если станет известно, что для каждой степени n > 2 пространство целых решений уравнения Ферма конечномерно, это поможет доказать, что таких решений вовсе нет! Но никаких путей к доказательству своей гипотезы Морделл не видел – и хотя он прожил долгую жизнь, но не дождался превращения этой гипотезы в теорему Фальтингса. Это случилось в 1983 году – в совсем иную эпоху, после великих успехов алгебраической топологии многообразий.

Пуанкаре создал эту науку как бы нечаянно: ему захотелось узнать, какие бывают трехмерные многообразия. Ведь разобрался же Риман в строении всех замкнутых поверхностей и получил очень простой ответ! Если в трехмерном или многомерном случае такого ответа нет – нужно придумать систему алгебраических инвариантов многообразия, определяющую его геометрическое строение. Лучше всего, если такие инварианты будут элементами каких-нибудь групп – коммутативных или некоммутативных.

Как ни странно, этот дерзкий план Пуанкаре удался: он был выполнен с 1950 по 1970 год благодаря усилиям очень многих геометров и алгебраистов. До 1950 года шло тихое накопление разных методов классификации многообразий, а после этой даты как будто накопилась критическая масса людей и идей и грянул взрыв, сравнимый с изобретением математического анализа в XVII веке. Но аналитическая революция растянулась на полтора столетия, охватив творческие биографии четырех поколений математиков – от Ньютона и Лейбница до Фурье и Коши. Напротив, топологическая революция XX века уложилась в двадцать лет – благодаря большому числу ее участников. При этом сложилось многочисленное поколение самоуверенных молодых математиков, вдруг оставшихся без работы на исторической родине.

В семидесятые годы они устремились в сопредельные области математики и теоретической физики. Многие создали свои научные школы в десятках университетов Европы и Америки. Между этими центрами поныне циркулирует множество учеников разного возраста и национальности, с разными способностями и склонностями, и каждый хочет прославиться каким- нибудь открытием. Именно в этом столпотворении были, наконец, доказаны гипотеза Морделла и теорема Ферма.

Однако первая ласточка, не ведая о своей судьбе, выросла в Японии в голодные и безработные послевоенные годы. Звали ласточку Ютака Танияма. В 1955 году этому герою исполнилось 28 лет, и он решил (вместе с друзьями Горо Шимура и Такаудзи Тамагава) возродить в Японии математические исследования. С чего начать? Конечно, с преодоления изоляции от зарубежных коллег! Так в 1955 году три молодых японца устроили в Токио первую международную конференцию по алгебре и теории чисел. Сделать это в перевоспитанной американцами Японии было, видимо, легче, чем в замороженной Сталиным России…

Среди почетных гостей были два богатыря из Франции: Андре Вейль и Жан- Пьер Серр. Тут японцам крупно повезло: Вейль был признанным главой французских алгебраистов и членом группы Бурбаки, а молодой Серр играл сходную роль среди топологов. В жарких дискуссиях с ними головы японской молодежи трещали, мозги плавились, но в итоге кристаллизовались такие идеи, и планы, которые вряд ли могли родиться в иной обстановке.

Однажды Танияма пристал к Вейлю с неким вопросом насчет эллиптических кривых и модулярных функций. Сначала француз ничего не понял: Танияма был не мастер изъясняться по-английски. Потом суть дела прояснилась, но придать своим надеждам точную формулировку Танияма так и не сумел. Все, что Вейль мог ответить молодому японцу, – это что если ему очень повезет по части вдохновения, то из его невнятных гипотез вырастет что-то дельное. Но пока надежда на это слаба!

Очевидно, Вейль не заметил небесного огня во взоре Танияма. А огонь-то был: похоже, что на миг в японца вселилась неукротимая мысль покойного Пуанкаре! Танияма пришел к убеждению, что каждая эллиптическая кривая порождается модулярными функциями – точнее, она «униформизуется модулярной формой». Увы, эта точная формулировка родилась много позже – в разговорах Танияма с его другом Шимура. А потом Танияма покончил с собой в приступе депрессии… Его гипотеза осталась без хозяина: непонятно было, как ее доказать или где ее проверить, и оттого ее долгое время никто не принимал всерьез. Первый отклик пришел лишь через тридцать лет – почти как в эпоху Ферма!

•На протяжении многих веков умы математиков волновало решение этой теоремы. Вот они перед вами…

Лед тронулся в 1983 году, когда двадцатисемилетний немец Герд Фальтингс объявил всему миру: гипотеза Морделла доказана! Математики насторожились, но Фальтингс был истинный немец: в его длинном и сложном доказательстве не нашлось пробелов. Просто пришло время, накопились факты и понятия – и ют один талантливый алгебраист, опираясь на результаты десяти других алгебраистов, сумел решить проблему, которая шестьдесят лет простояла в ожидании хозяина. В математике XX века это не редкость. Стоит вспомнить вековую континуум-проблему в теории множеств, две гипотезы Бернсайда в теории групп или гипотезу Пуанкаре в топологии. Наконец и в теории чисел пришла пора собирать урожай давних посевов… Какая вершина станет следующей в ряду покоренных математиками? Неужели рухнут проблема Эйлера, гипотеза Римана или теорема Ферма? Хорошо бы!

И вот через два года после откровения Фальтингса в Германии объявился еще один вдохновенный математик. Звали его Герхард Фрей, и утверждал он нечто странное: будто теорема Ферма ВЫВОДИТСЯ из гипотезы Танияма! К сожалению, стилем изложения своих мыслей Фрей больше напоминал невезучего Танияма, чем своего четкого соотечественника Фальтингса. В Германии Фрея никто не понял, и он поехал за океан – в славный городок Принстон, гае после Эйнштейна привыкли и не к таким визитерам. Недаром там свил свое гнездо Барри Мазур – разносторонний тополог, один из героев недавнего штурма гладких многообразий. И вырос рядом с Мазуром ученик – Кен Рибет, равно искушенный в тонкостях топологии и алгебры, но еще ничем себя не прославивший.