Алекс Беллос - Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики

Как показать, что площадь круга равна πr 2

Чтобы квадрировать круг, нам надо, используя только циркуль и линейку, построить квадрат, который имеет в точности ту же площадь, что и круг, ограниченный заданной окружностью. Мы теперь знаем, что линия длиной r — это радиус окружности, площадь круга внутри которой равна πr 2, а также что у квадрата с площадью πr 2 сторона должна иметь длину r√π (поскольку ( r√π ) 2= r 2(√π) 2= r 2π = πr 2 ). Так что превращение окружности в квадрат можно свести к задаче построения длины r по заданной длине r. Или, если для удобства взять r равным 1, то к построению отрезка длины, если дан отрезок длины 1.

Используя координатную геометрию, о которой мы будем говорить в следующей главе, можно выразить процесс построения линии алгебраически, в виде конечного уравнения. Можно показать, что коль скоро x есть решение конечного уравнения, то начиная с отрезка длины 1 можно построить отрезок длины x. Но если x не есть решение какого-либо конечного уравнения — другими словами, если x трансцендентно, — то построить отрезок длины x невозможно. Ну, а тот факт, что π трансцендентно, означает, что квадратный корень из π также трансцендентен (тут вам предстоит поверить мне на слово), и отрезок такой длины построить невозможно. Трансцендентность числа π доказывает, что круг нельзя квадрировать.

Данное Линдеманном доказательство трансцендентности числа π перечеркнуло мечту бессчетного числа математиков. И тем не менее в 1897 году Законодательным собранием штата Индиана был выпущен знаменитый билль, содержавший доказательство квадратуры круга неким Е. Дж. Гудвином, местным сельским врачом, который преподнес свое доказательство в качестве «дара штату Индиана». Разумеется, этот сельский энтузиаст заблуждался. После доказательства Фердинанда фон Линдеманна, представленного им в 1882 году, математики, говоря о ком-то, что «он занимается квадратурой круга», имеют в виду, что он занимается чушью, в общем, чудак.

В течение двух столетий — XVIII и XIX — выяснилось, что загадочные свойства числа π проявляются не только в самой сердцевине античных геометрических задач, но и глубоко укоренены в новых областях знания, не демонстрирующих никакой очевидной связи с окружностями. «Это таинственное 3,141592…, что появляется из каждой двери и из каждого окна и вылезает из каждой каминной трубы», — писал британский математик Огастес Де Морган. Например, время качания маятника зависит от π. Смертность населения в данном регионе есть функция числа π. Если бросать монету 2 n раз, то при очень большом n вероятность получить в точности 50 процентов орлов и 50 процентов решеток есть 1/√ nπ .

Вездесущность числа π, однако, сделала его чем-то большим, чем просто знаменитостью в мире чисел. Оно стало в общем смысле культурной иконой. Поскольку цифры, входящие в число π, никогда не повторяются, оно идеально подходит для тех, кто хочет проявить себя на поприще мастеров запоминания. Если запоминание чисел — ваше призвание, то можете считать, что цифры числа π — предел совершенства. Их запоминание стало увлечением по крайней мере с 1838 года, когда журнал «The Scotsman» сообщил, что 12-летний голландский мальчик продекламировал все 155 цифр π, известных на тот момент, перед аудиторией из ученых и особ королевской крови. Сегодня мировой рекорд принадлежит Акире Харагучи — 60-летнему инженеру на пенсии. Имеется запись его публичного выступления в 2006 году в окрестностях Токио, во время которого он продекламировал 100 000 десятичных знаков числа π. Выступление заняло у него 16 часов и 28 минут, включая пятиминутные перерывы каждые два часа, в которые он съедал несколько рисовых шариков. Он объяснил журналистам, что число π символизирует жизнь, поскольку его цифры никогда не повторяются и не следуют никакому порядку. Запоминание цифр числа π, добавил он, — это «религия Вселенной».

Простое заучивание числа π на память может быстро наскучить, но вот заучивание π на память и одновременное жонглирование — уже состязание! Рекорд здесь удерживает швед Матс Бергстен, которому без малого 60 лет и который сумел продекламировать 9778 цифр, жонглируя при этом тремя мячами. Он, правда, сказал мне, что более всего гордится своими успехами в тестировании памяти «Эверест», когда первые 10 000 цифр из разложения числа π разбиваются на 2000 групп по пять начиная с 14 159. Участникам состязания случайным образом зачитываются вслух 50 групп, и они должны сказать по памяти, какие пять чисел идут до и какие пять после прочитанных. Матс Бергстен — один из всего лишь четырех людей в мире, кто может сделать это без ошибок, и показанное им время — 17 минут и 39 секунд — самое быстрое. «Запомнить 10 000 цифр не одно за другим, а в случайном порядке — это куда большая нагрузка для ума», — сказал он мне.

Когда Акира Харагучи декламировал наизусть 100 000 цифр числа π, он использовал мнемонический прием, по которому каждому числу от 0 до 9 приписываются слоги, так что десятичная запись превращается в слова, в свою очередь образующие предложения. Первые пятнадцать цифр звучали так: «жена и дети уехали за границу, а муж не боится». В разных культурах по всему миру школьники используют слова, чтобы запомнить цифры числа π, но, как правило, это делается не с помощью перехода к слогам, а путем придумывания фразы, в которой число букв в каждом слове представляет последовательные цифры в десятичном разложении π. Подобная хорошо известная английская фраза приписывается астрофизику сэру Джеймсу Джинсу: «How I need a drink, alcoholic in nature, after the heavy lectures involving quantum mechanics. All of thy geometry, Herr Planck, is fairly hard». «How» состоит из трех букв, «I» — из одной, «need» — из четырех и т. д. [28] Приведем буквальный перевод ввиду того, что фраза относительно осмысленна и касается чтения лекций студентам-физикам: «Как же я хочу выпить чего-нибудь алкогольного после тяжелой лекции, посвященной квантовой механике. Вся твоя геометрия, герр Планк, весьма сложна». Известна и русская фраза, выполняющая аналогичную функцию, хотя и для меньшего числа цифр: «Кто и шутя, и скоро пожелает пи узнать, число уж знает». .

Среди чисел только π породило фанов подобного рода. Никто не стремится запомнить квадратный корень из двух, что является в равной степени сложным. π остается также единственным числом, которое вдохновило создание своего собственного поджанра в литературе. Принудительный стиль — это техника, в которой принимается условие, предписывающее литературному произведению следовать определенной схеме или же, наоборот, запрещающее определенные вещи при написании текста. Были написаны целые поэмы — или «пиэмы», — где количество букв в словах определяется цифрами числа π, причем принято, что если в разложении встречается нуль, то это требует слова из десяти букв. Самая впечатляющая пиэма — это «Cadaeic Cadenza», которую написал Майк Кит, и она не отстает от числа π на протяжении 3835 цифр. Начинается она как стилизация под Эдгара Аллана По [29] Имеется в виду стихотворение «Ворон» (1845). :