Алекс Беллос - Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики

Но есть и другая, более важная причина. Нахождение новых цифр в числе π — идеальный тест для проверки того, насколько эффективно считает компьютер. «Уточнение известного значения числа π само по себе не является для меня каким-то специальным пристрастием или хобби, — заметил Канада. — Но меня всерьез интересует, как увеличить скорость вычислений». Вычисление числа π стало важным элементом при проверке качества суперкомпьютеров, потому что это «очень процессороемкая работа, которая требует большого объема основной памяти, оперирует с огромными числами, но при этом легко проверить ответ. Можно использовать и другие математические константы, например, квадратный корень из двух, число e [31] Математическая константа e — иррациональное число, начинающееся как 2,718281828, которое Грегори Чудновски называет «дважды Толстым», поскольку этот великий русский писатель родился в 1828 году. , или число гамма — но π из них самое эффективное».

В истории жизни числа π наблюдается занятная цикличность. Это простейшее и наиболее древнее отношение (длины окружности к диаметру) в математике было изобретено заново в качестве важнейшего инструмента, используемого на самом переднем крае компьютерных технологий.

На самом деле интерес братьев Чудновски к числу π был связан главным образом с их желанием строить суперкомпьютеры — страстью, которая с тех пор и не думала угасать. В настоящее время братья работают над чипом, который, по их утверждению, станет самым быстрым в мире, он будет иметь всего 2,7 сантиметра в ширину, и при этом в него войдут целых 160 000 меньших по размеру чипов и 1,75 километра проводов.

В написанном Карлом Саганом бестселлере «Контакт» инопланетянин предупреждает женщину на Земле, что после определенного количества цифр случайность в числе π исчезнет и там появится сообщение, записанное нулями и единицами. Это послание появится после десятичного разряда с номером 10 20— что представляет собой единицу с двадцатью нулями. Поскольку к настоящему моменту мы добрались «только» то 2,7 триллиона разрядов (число 27 с и нулями), то надо еще немного постараться, чтобы проверить, действительно ли там есть что-то в этом роде. На самом деле придется продвинуться даже еще чуть дальше, потому что послание, по-видимому, записано в 11-ричной системе.

Мысль о том, что в числе π есть закономерность, способна любому вскружить голову. Математики стали выискивать какие-либо указания на порядок в десятичных разложениях числа π, как только они появились. Иррациональность π означает, что цифры следуют друг за другом без какого-либо повторяющегося порядка, но это не исключает возможности появления упорядоченных кусков — таких, как послание, записанное нулями и единицами. До сих пор, однако, никто не нашел ничего важного. Хотя, надо сказать, у π есть свои причуды. Первый 0 появляется только на 32-м месте, что намного позже, чем можно было бы ожидать, коль скоро цифры распределены случайно. Первый раз, когда какая-либо цифра повторяется шесть раз подряд, наступает на 762-м десятичном знаке (и это 999 999). Вероятность столь раннего повторения шести девяток — если их появление случайно — меньше 0,1 процента. Эта последовательность известна как точка Фейнмана — выдающийся физик Ричард Фейнман однажды заметил, что хотел бы запомнить число π именно до этого места и закончить словами «девять, девять, девять, девять, девять, девять и так далее». Следующий раз, когда последовательно выпадают шесть одинаковых цифр, случается на 193 034-м месте, и цифры эти — снова девятки. Не послание ли это извне, и если да — то о чем оно?

Число считается нормальным , если каждая из его цифр от 0 до 9 появляется в его десятичном разложении с равной частотой. Нормально ли π ? Канада изучил первые 200 миллиардов цифр числа π и нашел, что цифры появляются со следующими частотами:

Только цифра 8 кажется несколько избыточной, однако отличие статистически несущественно. Казалось бы, число π нормально, но никто не смог этого доказать. И никто не смог доказать, что такое доказательство невозможно. Поэтому есть шанс, что π не нормально. Быть может, вслед за 10 20знаками и правда идут только 0 и 1?

Другой, но связанный с предыдущим вопрос — это вопрос о положении чисел. Распределены ли они случайно? Стэн Вейгин проанализировал первые 10 миллионов цифр числа π на «покерный тест»: возьмем пять последовательных цифр и рассмотрим их, как если бы это были карты, сданные вам при игре в покер.

В правом столбце показано, сколько раз можно было бы ожидать появления того или иного расклада, если число π нормально и если на каждой десятичной позиции с равным шансом могла бы стоять любая цифра. Результаты оказываются вполне в границах ожидаемого. Видно, что каждый расклад чисел появляется с правильной частотой, как было бы, если бы числа на каждой десятичной позиции генерировались случайным образом.

Имеются веб-сайты, на которых можно узнать, когда в числе π впервые появляется дата вашего рождения. Первое появление последовательности 0123456789 происходит на 17 387 594 880-м месте — что было установлено только после того, как Канада добрался туда в 1997 году.

Я спросил у Грегори, полагал ли он когда-либо, что в числе π может найтись какой-то порядок.

— Нет там никакого порядка, — бросил он довольно презрительно. — А если бы он там и был, то это было бы ненормально и неправильно. Так что нет смысла тратить на это время.

Вместо того чтобы искать закономерности в числе π , некоторые воспринимают его случайную природу как колоссальное выражение математической красоты. Число π — предопределенное, но при этом оно, по-видимому, необычайно хорошо имитирует случайность.

— Это очень хорошее случайное число, — соглашается Грегори.

Вскоре после того знаменательного вычисления числа π братьям Чудновски позвонили из правительства Соединенных Штатов. Дэвид изобразил визгливый голос на другом конце провода: «Не будете ли вы столь любезны прислать нам пи?»