Josep Carrera - Трехмерный мир. Евклид. Геометрия

Необходимо уточнить, что имеется в виду под «элементом» в геометрии[ 1Сочинение Евклида традиционно называется «Начала», но на древнегреческом это слово также имеет значение «элемент». — Примеч. перев.]. Аристотель в «Топике» говорит: «В геометрии необходимо оперировать элементами»; а Прокл в своем комментарии пишет:

«Если геометрия располагает некоторыми элементами, то можно будет понять все остальные науки, без них же невозможно охватить все ее разнообразие, и другие науки будут недосягаемы».

Прокл также описывает различные значения этого термина. По мнению Гиппократа Хиосского, элемент — это положение, имеющее фундаментальную важность для получения и дедуктивной организации других результатов; Менехм рассматривал элемент в двух значениях: «слабом», когда он имеет вид предыдущей леммы (например, предложение 1 из книги I по отношению к предложению 2 той же книги), и «сильном», когда он имеет вид определения, общего понятия и постулата. Сочинение Евклида может именоваться «Элементы» («Начала») именно в «сильном» значении слова, хотя в нем встречаются элементы и в «слабом» значении, так как, определив основные принципы, он придает своему труду дедуктивную структуру и, следовательно, большую дидактическую ценность. Поэтому в «Началах» содержатся не все известные на тот момент геометрические результаты, а только те, которые могут служить основой последующих рассуждений. В этом смысле «Начала» превосходят другие предшествующие ему сочинения с таким же названием. Такие мыслители, как Архимед, Аполлоний, Эратосфен, Птолемей, Папп, Прокл, используют этот труд как главный свод начальных знаний для изучения математики.

Как мы уже сказали, структура «Начал» соответствует духу Аристотеля. Напомним, что общие понятия (см. таблицу) — это само собой разумеющиеся истины. Мы сконцентрируемся на пяти из них и затронем шестое. В общих понятиях говорится об отношениях равенства или неравенства количественного типа, что подходит для геометрических величин, натуральных чисел и пропорций. Таким образом, их область применения очень широка, и с точки зрения методологии «Начал» они имеют первоочередное значение.

Два общих понятия, четвертое и шестое, не попадают под это описание, поскольку относятся к геометрическим объектам и поэтому должны быть включены в список постулатов. Четвертое общее понятие косвенно вводит понятие движения: если мы сместим два геометрических объекта и они совпадут, значит, до перемещения они были равны. Шестое общее понятие, которое Евклид использует в качестве примера в предложении 4 книги I, имеет чисто геометрический характер: в нем говорится о геометрических объектах и вопросе (не-)существования.

Напротив, постулаты (см. таблицу) фиксируют обстоятельства существования, в том числе и определенных геометрических объектов.

Первые три постулата относятся к так называемому построению с помощью линейки и циркуля. В них утверждается, что существуют прямые, концами которых являются две точки (и эти прямые можно продолжить до бесконечности), и окружности с заданным центром и радиусом. У циркуля нет памяти: если он закрылся, значение невозможно восстановить. Но во втором предложении книги I циркуль ведет себя как инструмент, наделенный памятью.

Остановимся на минуту и подумаем о существовании предметов, которым дали определение. По Платону, существование реально. Определение всего лишь дает имя уже существующему объекту, позволяя нам дать ему образ. А по мнению Аристотеля, для первичных вещей существование постулируется, для вторичных — должно устанавливаться. Следовательно, у существования есть пределы. Аристотель пишет:

«Если нечто не существует, то никто не знает, что это; следовательно, мы не знаем, к чему относится речь или имя, как когда я говорю о химере, никто не может знать, каково это существо, когда я его называю.

Таким образом, определение как наименование не подразумевает существования, хотя, по логике, должно соответствовать какой-то реальности. Обычно в геометрии существование устанавливается после точного определения объекта. Поэтому необходимо очень внимательно использовать определения в доказательствах до того, как установлено существование определяемого объекта.

Они нуждаются в примерах осязательных, доступных, понятных, наглядных, не вызывающих сомнения, с математическими доказательствами, которые нельзя опровергнуть, вроде, например, такого: «Если мы из двух равных величин вычтем равные части, то остатки также будут равны».

Прослеживается четкая разница между первыми определениями, которые опираются на такие неопределенные понятия, как часть, ширина, длина и так далее, и остальными, основанными на уже рассмотренных геометрических понятиях, например круг, центр, диаметр, трехсторонние фигуры и так далее. Аристотель утверждает, что существование некоторых понятий и объектов очевидно: это «линия», «прямая линия» и «величина» в геометрии и «единица» в арифметике. Группа определений не всегда выделяется последовательно. Так, в определении диаметра мы читаем: «Эта прямая делит круг на две равные части», но это является ее свойством, которое необходимо доказать, а не определением.

Мы увидели, что определения не подразумевают факт существования определяемого объекта,— его надо установить. Для этого необходимо решить задачу вида «существует ли такой предмет, как...». В сочинении Евклида для построения геометрических объектов используются только прямые и окружности, других инструментов не дается. Следовательно, единственные существующие точки — те, которые возникают в местах пересечения этих линий.