Вадим Грибунин - Цифровая стеганография

Имея описание стегосистемы и атакующего воздействия можно описать состязание (игру) между скрывающим информацию и атакующим.

Определение 3.3:Информационно-скрывающее противоборство, приводящее к искажениям ( D 1,D 2 ), описывается взаимодействием используемой стегосистемы, приводящей к искажению кодирования D 1 , и атакующего воздействия, приводящего к искажению D 2 .

Скорость передачи скрываемых сообщений по стегоканалу определим в виде R= 1 /N log . Скорость передачи R выражается в среднем числе бит скрываемых сообщений, безошибочно передаваемых (переносимых) одним символом (отсчетом) стегопоследовательности x N . Это определение созвучно «классическому» определению скорости передачи обычных сообщений по каналу передачи, выражаемой в среднем числе безошибочно передаваемых бит за одно использование канала [1].

Вероятность разрушения скрываемого сообщения в стегопоследовательности длины N определим как

, (3.4)

где скрываемые сообщения М равновероятно выбираются среди множества M. Вероятность есть средняя вероятность того, что атакующий успешно исказит скрытно передаваемое сообщение, усредненная над множеством всех сообщений. Атакующий добивается успеха в информационном противоборстве, если декодированное на приеме сообщение не совпадет с встроенным в контейнер скрываемым сообщением, или декодер не способен принять однозначного решения.

Теоретически достижимую скорость безошибочной передачи скрываемых сообщений и скрытую пропускную способность при искажениях не более величин ( D 1, D 2 ) определим следующим образом.

Определение 3.4:Скорость R безошибочной передачи скрываемых сообщений достижима для искажений не более ( D 1, D 2 ), если существует стегосистема с длиной блока N , приводящая к искажению кодирования не более D 1 на скорости R N> R , такая что Р e,N→ 0 при N → ∞ при любых атаках нарушителя, приводящих к искажению не более D 2 .

Определение 3.5:Скрытая пропускная способность С ( D 1, D 2 ) есть супремум (верхняя грань) всех достижимых скоростей безошибочной передачи скрываемых сообщений при искажениях не более ( D 1, D 2 ).

Отметим, что введенные определения средних искажений контейнеров при встраивании скрываемых сообщений и при атакующем воздействии нарушителя, скорости передачи скрываемых сообщений и пропускной способности канала скрытой передачи соответствуют теоретико-информационному подходу К. Шеннона.

Таким образом, скрытая ПС есть верхний предел скорости безошибочной передачи скрываемых сообщений, при которой искажения контейнера, вызванные вложением в него данных сообщений и действиями нарушителя по разрушению этих сообщений, не превышают заданных величин. Как и ПС каналов передачи открытых сообщений, ПС каналов передачи скрываемых сообщений определяется в идеализированных условиях, в которых задержка кодирования/декодирования бесконечна ( N → ∞), статистика контейнеров, скрываемых сообщений, стего и ключей точно известна, сложность построения стегосистемы неограничена. Очевидно, что такая скрытая ПС имеет смысл теоретического предела, указывающего области, в которых существуют и, соответственно, не существуют стегосистемы при заданных величинах искажений. Известно, что скорости реальных систем передачи открытых сообщений могут только приближаться к величине ПС открытых каналов, причем по мере приближения к ней вычислительная сложность реализации систем передачи растет сначала приблизительно по линейной, затем по квадратической и далее по экспоненциальной зависимости от длины блока кодирования N [1]. По всей вероятности, аналогичные зависимости роста сложности справедливы и для стегосистем по мере приближения скорости передачи скрываемых сообщений к величине скрытой ПС. Это предположение подтверждается имеющимся опытом построения стегосистем. Известно, что попытки увеличить скорость передачи скрываемых сообщений влекут за собой существенное усложнение методов скрытия информации [6,8].

Подчеркнем абсолютный характер величины скрытой ПС для произвольного передачи скрываемой информации. Если требуемая скорость передачи скрываемых сообщений меньше величины скрытой ПС, то обеспечение безошибочной передачи в принципе возможно, и имеет смысл разрабатывать принципы построения реализующей эту скрытую ПС стегосистему. Если это соотношение не выполняется, то безошибочная передача невозможна при любых принципах построения стегосистем.

Для полного представления стегосистемы и условий ее функционирования формально опишем скрывающее преобразование, выполняемое при встраивании информации в контейнер, и атакующее воздействие, осуществляемое нарушителем для противодействия скрытой передаче. Для этого рассмотрим вспомогательную случайную последовательность U, определенную над множеством U. Физически последовательность U описывает результат преобразования скрываемого сообщения М с целью его адаптации к встраиванию в заданный контейнер. Заметим, что в то время как в стегосистеме контейнеры, ключи и стего представляют из себя последовательности одинаковой длины N, длина скрываемых сообщений, их алфавит и вероятностное распределение не совпадают с соответствующими характеристиками перечисленных последовательностей. Например, пусть лицензионную музыкальную запись на DVD-диске производитель для защиты своих прав на товарный продукт заверяет своим фирменным знаком (логотипом) или текстом, в котором указываются реквизиты производителя, и перечисляются его права на защищаемый товар. Очевидно, что рисунок фирменного знака или указанный текст целесообразно сначала привести к виду удобному для встраивания в музыкальный контейнер, причем встраивание должно быть таким, чтобы все части контейнера были бы защищены от «пиратского» копирования. Иначе у нарушителя появится возможность отрезать часть стего, в котором содержится заверяющая информация, и присвоить себе оставшееся. Поэтому логично предположить, что последовательность U должна иметь длину не меньшую длины заверяемого контейнера.

В общем виде определим скрывающее преобразование, используемое отправителем сообщений для встраивания скрываемого сообщения в контейнер.