Вадим Грибунин - Цифровая стеганография

Заметим, что в соответствии с теорией оптимального приема если нарушитель и законный получатель скрываемых сигналов обладают одинаковой способностью по их обнаружению на фоне шумов контейнера, то величина скрытой ПС стегоканала равна нулю. Следовательно, для существования необнаруживаемого стегоканала нарушитель и получатель скрываемых сигналов должны находиться в неравных условиях. Канал передачи стегограмм для них равнодоступен, следовательно, получатель должен иметь преимущество в знании секретной информации, позволяющей ему выделить из смеси скрываемый сигнал+контейнер предназначенное для него сообщение, а нарушитель без знания этой информацию не должен быть способен отличить стего от пустого контейнера. Более подробно защищенность стегоканала от его обнаружения будет исследована в следующей главе.

В работе [4] для оценки скрытой пропускной способности аддитивного стегоканала используются оценки пропускной способности канала с аддитивным гауссовским шумом, описанным К. Шенноном в классической работе [1].

Пусть по каналу передается полезный сигнал с мощностью S, а в канале на него воздействует гауссовский шум Z с мощностью N . Выход аддитивного канала можно представить как . Упрощенная схема такой системы передачи представлена на рис. 3.12.

Рис. 3.12. Упрощенная схема стегоканала

Для оценки величины скрытой пропускной способности аддитивного стеганографического канала сопоставим ее с величиной пропускной способности канала с аддитивным белым гауссовским шумом. Если входной сигнал М и шум Z независимы, то условная энтропия выходного сигнала Х при заданном М равна энтропии шумового сигнала. Используем этот результат для определения пропускной способности аддитивного канала с шумом

.

Пусть шум Z имеет нормальное распределение со средним значением 0 и дисперсией N . Тогда энтропия Z равна

.

Чтобы достичь максимума величины ПС по всем возможным распределениям входа, будем считать, что входной сигнал M имеет также нормальное распределение с дисперсией S . Следовательно, X есть сумма двух гауссовских сигналов и имеет дисперсию S + N . Тогда пропускная способность С gгауссовского канала выражается, как

. (3.29)

Из теории связи известно [25], что величина ПС канала минимальна, когда шум в канале гауссовский со средним значением 0. Следовательно, пропускная способность других аддитивных негауссовских каналов ограничивается снизу величиной С g(3.29). Уравнения (3.30) — (3.32) определяют пропускные способности трех таких каналов с различными распределениями шума.

, (3.30)

, (3.31)

. (3.32)

Рассмотрим стеганографическую систему, в которой скрываемая информация добавлена некоторым образом к контейнерным данным. Например, скрываемое сообщение записывается на место наименее значащих бит (НЗБ) яркости пикселов контейнерного изображения. Во многих практических стегосистемах скрываемое сообщение до встраивания шифруется или сжимается каким-либо архиватором данных. Это повышает скрытность связи и позволяет описать зашифрованное (сжатое) сообщение в виде последовательности с независимо и равновероятно распределенными битами.

Величину скрытой пропускной способности стегоканала оценим путем сравнения с пропускной способностью канала с белым гауссовским шумом. Однако в действительности сигналы реальных источников информации, таких как речь и видео, нельзя описать гауссовскими сигналами, потому что в их структуре высока зависимость между соседними отсчетами. Как и в других случаях негауссовских каналов, скрытая пропускная способность стегоканала, в котором скрываемые сообщения внедряются в негауссовские сигналы, ограничена снизу пропускной способностью канала с белым гауссовским шумом.

Неопределенность шума с произвольным распределением может быть сравнена с белым гауссовским шумом, используя измерение энтропийной мощности N e. Если произвольный шум Z имеет энтропию Н ( Z ), то его средняя шумовая мощность равна мощности гауссовского шума, имеющего такую же энтропию и определяется как

. (3.33)

Объединяя (3.33) с оценкой пропускной способности канала с аддитивным шумом получим, что скрытая пропускная способность С стегоканала ограничена

.

где N e— энтропийная мощность контейнера. Так как величина N eстрого меньше, чем N для всех негауссовских сигналов, то величина С gявляется нижней границей для скрытой ПС стегоканалов, использующих произвольные контейнеры.

Верхняя граница скрытой ПС определяется максимумом взаимной информацией между скрываемым сообщением и стего, полагая, что стего имеет нормальное распределение с дисперсией S + N и шум в канале является гауссовским с мощностью N e. Следовательно

. (3.34)

Очевидно, что если контейнер можно представить в виде белого гауссовского шума, то его энтропийная мощность уменьшается до величины N и скрытая ПС принимает минимальное значение, равное С g.

Для аналитической оценки количества скрываемой информации в избыточных контейнерах, таких как изображения или речевые сигналы, необходимо знать их распределения вероятностей. Однако точные вероятностные характеристики таких контейнеров неизвестны и вряд ли когда-либо станут известными в силу нестационарности естественных источников контейнеров. Несмотря на это, можно воспользоваться известными результатами сжатия избыточных сигналов, чтобы оценить верхнюю границу энтропии источника сигналов. В ряде работ разрабатывались достаточно сложные алгоритмы сжатия, предназначенные для максимального удаления избыточности из сжимаемых сигналов [4,32]. Достигнутое в ходе работы таких алгоритмов среднее число бит на один символ сжимаемых сигналов может быть использовано как практическая верхняя граница энтропии исследуемого источника. Например, для изображений лучшим на сегодня алгоритмом сжатия без потерь CALIC [4] достигнута скорость 2,99 бит на пиксел. Эта оценка получена на 18 полутоновых тестовых изображениях, выбранных ISO (Международной организацией по стандартизации), яркость пикселов которых представлена 8 битами. Используя величину достигнутой алгоритмом CALIC скорости как оценку энтропии изображений, мы можем вычислить как верхнюю, так и нижнюю границы скрытой пропускной способности стегоканала, в котором скрываемая информация встраивается в изображение-контейнер. Из полученной оценки энтропии изображений по формуле (3.33) легко определить величину энтропийной мощности контейнеров.