Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

(приблизительно) в каждом слагаемом. Сумма 8 и 6 равна 14; следует ли нам округлять результат до одной значащей цифры, то есть до 10? В этом случае — нет, поскольку мы знаем, что погрешность суммы приблизительно равна сумме погрешностей двух слагаемых (то есть составляет около двух)*.

Округлить 14 до 10 — значит изменить число на величину гораздо больше, чем погрешность суммы, а следовательно, в этом случае лучше придерживаться двух значащих цифр.

Мы не всегда будем записывать числа в экспоненциальном представлении, но количество значащих цифр обычно будет ясно из контекста. Например, если мы скажем, что температура звезды составляет 10 000 градусов, вы можете предположить, что это число известно с точностью до одной или, вероятно, двух значащих цифр, если прямо не указано иначе.

* Существует математически корректный способ вычисления погрешности суммы, который дает несколько меньшую величину, но это выходит за рамки нашей книги.

11

Немного математики

Практические правила таковы.

• При вычислениях с участием чисел с одной или двумя значащими цифрами можно проводить арифметические расчеты без калькулятора, как показано выше, и давать ответ из одной (иногда двух) значащих цифр.

Именно такими будут большинство расчетов в этой книге.

• Если нужно отследить больше значащих цифр, проще всего выполнить «точные» вычисления на калькуляторе, а округлить до подходящего количества значащих цифр только в самом конце.

В астрономических исследованиях нам часто нужны грубые оценки «по порядку величины», и многие задачи составлены в этом духе. Например, в одной задаче мы спросим вас, поместится ли 1 тонна вещества белого карлика в спичечный коробок, и для подобной задачи четкий ответ на вопрос даст вам одна значащая цифра!

Вышеприведенные правила о значащих цифрах несколько усложняются при вычитании. Нам иногда будут встречаться задачи, где нужно найти разность двух больших чисел:

4000,001 — 4000,000 = 0,001.

В этом примере, если мы округлим числа до того, как производить вычитание, то останемся с ответом «нуль» и в результате упустим суть задачи. В другом примере из раздела «Большого космического путешествия», посвященного теории относительности, нам придется иметь дело с телами, движущимися очень близко к скорости света с , и мы запишем их скорость в виде, скажем, v = 0,999999999999 с . Естественно, у вас возникнет соблазн округлить это число до с , однако, как мы увидим, физически значимая величина (причем именно та величина, которую мы на самом деле измеряем, то есть интересующее нас число) представляет собой разницу между с и реальной скоростью v (то есть 10–12 с в нашем примере), которую мы на самом деле знаем с точностью до одной значащей цифры. В формулировках задач, где возникают подобные вопросы, мы дадим соответствующие подсказки.

12

Немного математики

АЛГЕБРА И АРИФМЕТИКА

Хотя в школе изучают сначала арифметику, а уже потом алгебру, зачастую арифметика труднее алгебры. Когда вы будете решать эти задачи, полезно придерживаться общего правила: сначала как можно сильнее упрощать выражения при помощи алгебраических приемов и лишь потом производить арифметические вычисления. Приведем пример, который встретится в одной из задач. Нужно найти отношение корней четвертой степени из светимостей двух звезд, которые составляют соответственно 3,2 1027 и 2 1026 Дж/с: (3,2×10 Дж/с)1/4

27

(

.

2×10 Дж/с)1/4

26

В этот момент у вас возникнет соблазн достать калькулятор и узнать, что

(3,2 1027 Дж/с)1/4 = 7,52 106 (Дж/с)1/4;

(2 1026 Дж/с)1/4 = 3,76 106 (Дж/с)1/4.

После чего вычислить отношение, все это время не находя себе места от страха, что вы делаете что-то не то со значащими цифрами, и не понимая, что означает странное выражение (Дж/с)1/4. Однако жизнь заметно упростится, если понимать, что отношение степеней — это степень отношения, то есть можно записать выражение в виде

1/4

27

⎛ 3,2×10 Дж/с ⎞

1/4

= 16 = 2.

⎜

26

⎝ 2 10 Дж/с ⎟

×

⎠

Мам, смотри, как я могу без калькулятора! И размерности тоже сократились! Среди наших задач будет очень много таких, которые легко решаются с помощью подобных фокусов.

В задачах часто бывает нужно вычислить отношения пропорциональных величин. Предположим, в задаче говорится о двух звездах с одинаковой температурой поверхности, но радиус звезды А в два раза больше радиуса звезды В и мы просим вас вычислить отношение их светимостей. Из книги

13

Немного математики

«Большое космическое путешествие» вы узнаете, что при фиксированной температуре светимость звезды L пропорциональна квадрату ее радиуса R : 2

L ∝ R ,

где символ ן означает «пропорциональна». То есть это означает, что существует некая постоянная С , такая, что

L = СR 2.

На основании этого найдем отношение двух светимостей: 2

2

2

L

CR

R

⎛ R ⎞

A

A

A

A

=

=

=

.

2

2

L

CR

R

⎜ R ⎟

B

B

B

⎝ B ⎠

Обратите внимание, что постоянная С здесь сокращается, нам не нужно ее знать. Но если обозначить эту постоянную как С , это даст нам возможность не забыть, что значит пропорциональность. Также обратите внимание на уже знакомый прием: мы превращаем отношение квадратов в квадрат отношения.

Нам уже сказали, что R / R = 2, так что вычисления очень просты: отношение

A B

светимостей равно квадрату указанной величины, то есть 4.

Часть I

ЗВЕЗДЫ, ПЛАНЕТЫ, ЖИЗНЬ

1

РАЗМЕР И МАСШТАБЫ ВСЕЛЕННОЙ

1. Экспоненциальное представление чисел. Обзор

Запишите следующие числа в экспоненциальном представлении, соблюдая нужное количество значащих цифр.

1. a Тридцать один миллион семьсот тысяч

1. b(число пи), умноженное на 0,2

1. cОдна четверть

1. dОдин нанометр (в метрах)

2. Сколько длится год?

Вычислите число секунд в году с точностью до двух значащих цифр.

3. Насколько быстро распространяется свет?

Скорость света составляет 3,0 108 метров в секунду. Какова скорость света в километрах в год?

4. Угловые секунды в радиане

Вычислите, сколько угловых секунд в радиане, с точностью до одной значащей цифры. С этим числом мы будем сталкиваться в нашем задачнике

17

ЧАСТЬ I. Звезды, планеты, жизнь постоянно. Подсказка: вспомните, сколько градусов и сколько радианов в полном круге .

5. Парсек — это далеко?

Парсек — это расстояние, на котором находилась бы звезда, если бы она обладала параллаксом в 1 угловую секунду за счет движения Земли вокруг Солнца. Вычислите, сколько составляет 1 парсек в астрономических единицах (а. е.) и в световых годах. Подсказка: вспомните, что по традиции параллакс определяется как половина угла, на который меняется положение звезды, когда Земля перемещается с одной стороны своей орбиты вокруг