Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

На какой высоте над экватором Земли (то есть над земной поверхностью) находится спутник на ГСО? Ответ выразите в километрах и в радиусах Земли.

24. Центростремительное ускорение и кинетическая энергия на орбите Земли

Эту задачу предложил Крис Чиба.

В январе 2007 года Китай провел испытания противоспутникового оружия на низкой околоземной орбите, в ходе которого сбил спутником-

30

3. Законы Ньютона перехватчиком свой собственный старый метеорологический спутник

«Фэнъюнь-1С», вращавшийся на высоте 850 км от земной поверхности.

Предыдущие испытания такого рода провели в 1985 году США на высоте

350 км. В шестидесятые-восьмидесятые годы противоспутниковое оружие испытывал и СССР, но тогда метод был другой: спутник-перехватчик должен был не столкнуться со спутником-целью, а взорваться вблизи него.

24. аВыведите алгебраическое выражение для скорости v объекта, вращающегося по круглой орбите радиусом r вокруг Земли. Формула должна содержать массу Земли M , r, G и численные постоянные. Можете начать

либо с ньютоновской формы третьего закона Кеплера, либо с закона всемирного тяготения и второго закона Ньютона.

24. bПредположим, что до того, как его сбили, спутник «Фэнъюнь-1С»

находился на круглой орбите. Какова была его скорость? Ответ выразите в километрах в секунду. Каков был период его обращения по орбите? Ответ выразите в минутах. Подсказка: подумайте как следует, что вы примете за радиус орбиты!

24. сУспешные испытания противоспутникового оружия приводят к образованию большого количества орбитального мусора, в том числе «крупного»: так называют обломки размером больше 10 см. В результате китайских испытаний в 2007 году образовалось свыше 1700 крупных обломков, которые теперь отслеживает НАСА. (После американских испытаний в 1985 году осталось примерно такое же количество крупного мусора. Из-за сопротивления разреженной атмосферы низкие околоземные орбиты, на которых вращается мусор, на этих высотах постепенно деградируют, а поскольку американские испытания проводились на значительно меньшей высоте, где атмосфера плотнее, орбиты деградируют гораздо быстрее. Последний большой обломок, оставшийся от испытаний

1985 года, упал на Землю в 2004 году). Предположим, что типичный крупный обломок — это параллелепипед размером 10 см 10 см и толщиной

31

ЧАСТЬ I. Звезды, планеты, жизнь

2 мм, сделанный из алюминия плотностью 2,7 грамма на кубический сантиметр. Какова масса типичного крупного обломка в килограммах?

24. dПредположим, что после разрушения спутника-цели типичный кусок мусора еще вращается с орбитальной скоростью, которую мы нашли в части b. (Одни куски движутся быстрее других, но это неплохое приближение для средней скорости после перехвата: большая часть мусора остается на орбитах, в целом похожих на орбиту уничтоженного спутника).

Какова кинетическая энергия типичного куска крупного мусора, выраженная в джоулях?

24. еЭнергия, высвобождаемая при взрыве килограмма бризантного взрывчатого вещества тринитротолуола (ТНТ), равна 4,2 106 Дж. Представьте себе, что кусок крупного мусора попадет в другой спутник со скоростью, которой вы пользовались в части d. Что будет разрушительнее: столкновение с куском мусора, который вы рассматривали в части d), или взрыв куска ТНТ

той же массы? Чтобы ответить на этот вопрос, вычислите отношение энергии столкновения и энергии взрыва.

25. Центростремительное ускорение Луны и закон всемирного тяготения

В этой задаче мы вспомним, как у Ньютона зародилась идея закона всемирного тяготения (по крайней мере, как он об этом рассказывал на склоне лет), и проследим логику его умозаключений.

25а.Луна вращается вокруг Земли по орбите радиусом 384 000 километров (легкой эллиптичностью орбиты мы здесь пренебрежем). Какова эта величина в радиусах Земли? Луна совершает полный оборот по этой орбите за 27,3 суток (1 месяц). Какова скорость Луны на орбите (в м/с)? Каково центростремительное ускорение Луны на орбите (в м/с2)?

25. bСогласно второму закону Ньютона, сила, необходимая, чтобы придать телу массы m ускорение а , равна ma . Для тела, движущегося по

32

3. Законы Ньютона кругу радиусом r с постоянной скоростью v , это ускорение составляет v 2/ r .

С учетом этого, какова должна быть связь силы и радиуса, чтобы соблюдался и третий закон Кеплера, согласно которому r 3 пропорционален квадрату периода Р ? Нам нужно найти пропорциональность между силой и простой функцией радиуса.

25. сЕсли центростремительное ускорение Луны и в самом деле вызвано гравитацией Земли, то это ускорение должно убывать пропорционально квадрату расстояния от Земли. Используйте расстояние до Луны в радиусах

Земли, чтобы предсказать, каково будет ускорение свободного падения на поверхности Земли (то есть на расстоянии в 1 радиус Земли от центра).

Сравните результат с измеряемым ускорением яблока, падающего с дерева, которое составляет 10 м/с2.

26. Кеплер о Юпитере

При решении этой задачи мы непосредственно проверим третий закон

Кеплера. Мы изучим орбиты четырех спутников, которые обнаружил на орбитах вокруг Юпитера Галилей: Ио, Европы, Ганимеда и Каллисто. Большие полуоси а и периоды обращения этих спутников по орбитам Р приведены в таблице.

Спутник

Большая полуось (км)

Период (сутки)

Ио

4,216 105

1,769

Европа

6,709 105

3,551

Ганимед

1,070 106

7,155

Каллисто

1,883 106

16,69

В этой задаче вы подтвердите, что их соотношение соответствует предсказанию Кеплера: Р 2 = С а 3 (где С — коэффициент пропорциональности).

Для решения придется воспользоваться калькулятором.

33

ЧАСТЬ I. Звезды, планеты, жизнь

26. аСначала вычислите С на основании данных о Европе: во-первых, в единицах МКС (время в секундах, расстояния в метрах), а затем в единицах, где время измеряется в годах, а расстояние — в а. е.

26. bИспользуя значение С , полученное в единицах МКС, подтвердите, что третий закон Кеплера справедлив для Ио, Ганимеда и Каллисто.

26. сКаково значение коэффициента пропорциональности С в единицах, где задействованы годы и а. е., для орбиты Земли вокруг Солнца?

26. dИспользуя единицы, где задействованы годы и а. е., найдите отношение коэффициента пропорциональности С , который вы нашли в части а) для системы Юпитера, к значению С для орбиты Земли вокруг Солнца. Также найдите отношение масс Солнца и Юпитера. Как связаны эти два отношения? Почему?