Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

Прямые линии — локальные горизонты в каждой точке; нам видны только звезды над горизонтом. Конус наверху — область, где находятся звезды, которые при наблюдении из Принстона никогда не заходят.

На схеме видно, что звезды, находящиеся меньше чем в 40° от Полярной звезды, всегда будут ближе к Полярной звезде, чем горизонт, и поэтому никогда не будут заходить. А звезды, находящиеся более чем в 140° от Полярной, никогда не видны из Принстона; чтобы ими полюбоваться, придется поехать в более низкие широты.

15. Небесные объекты

15. аЕсли Луна стоит высоко в небе, она уже давно взошла и еще не клонится к закату. В полнолуние Солнце и Луна находятся друг против друга, 171

Решения поэтому полная Луна встает тогда, когда Солнце садится (в 6 вечера) и заходит, когда Солнце восходит (в 6 утра). Если Луна стоит высоко в небе, мы примерно посередине между этими моментами, то есть сейчас около полуночи.

15. bНет. За 24 часа все небесные тела описывают окружности вокруг

Полярной звезды. На экваторе Полярная звезда находится прямо на горизонте, поэтому все окружности, описанные вокруг нее, неизбежно пересекают горизонт (то есть все небесные объекты восходят и садятся). Если смотреть с экватора, околополярных объектов на небосводе не будет.

15. сДа. Полярная звезда находится прямо над головой, и все объекты описывают круги параллельно горизонту, так что за 24 часа они не восходят и не садятся. Поэтому, если Луна видна, она околополярна.

Обратите внимание, что Луна с Северного полюса видна не всегда.

Она восходит (поднимается над горизонтом) раз в месяц и заходит тоже раз в месяц, поскольку ее орбита наклонена относительно экватора Земли.

15. dЕсли Луна находится в тени Земли, она находится от Солнца на противоположной стороне неба и, следовательно, полная. Поэтому в полночь она стоит высоко в небе. Лунное затмение длится несколько часов: сначала видна полностью освещенная Луна, потом она начинает заходить в тень Земли, и ее диск постепенно затемняется. Во время полного лунного затмения Луна тускло освещена солнечным светом, преломленным в земной атмосфере, а поэтому она становится красной, как на закате.

16. Аристарх и Луна

16. аГлавное в этой задаче — помнить, что углы AES и EMS прямые

(о чем говорится в условии). Прежде всего рассмотрим треугольник, заданный точками M, E и S. Сумма углов треугольника равна 180°:

"EMS + "ESM + "SEM = 180°.

Но поскольку "EMS прямой, то есть равен 90°, это можно упростить до

"ESM + "SEM = 90°.

172

Решения

Теперь рассмотрим угол AES. Из рисунка 1 ясно, что

"AEM + "SEM = "AES.

Однако "AES прямой, поэтому

"AEM + "SEM = 90°.

Из этого равенства и равенства на четыре строчки выше прямо следует, что

"AEM = "ESM,

что и требовалось доказать.

16. bПрименим малоугловую формулу к углу "ESM; отрезок EM противолежит углу "ESM на расстоянии ES, поэтому малоугловая формула показывает, что

EM

ESM

∠

=

(в радианах)

ES

Расстояние от Земли до Луны и от Земли до Солнца — 4 105 км и

1,5 108 км соответственно. Следовательно,

5

4×10 км

1

E

∠ SM =

≈

= 0,0025 радиан.

7

15×10 км 400

Чтобы перевести это в градусы, умножим 0,0025 радиан на 180°/ rad 60 и получим 0,16° 10 угловых минут. Таким образом, угол SEM между

Луной в первой четверти и Солнцем отличается от 90° на эту величину, то есть составляет 89,84°.

16. сМалоугловая формула связывает физический диаметр тела s , расстояние до него d и угловой диаметр: s = d . Запишем это выражение для Луны и Солнца в виде отношения; получим s

θ d

Луны

Луны Луны

=

.

s

θ

d

Солнца

Солнца Солнца

173

Решения

Однако угловые диаметры Солнца и Луны одинаковы (поразительное совпадение: именно поэтому при полном солнечном затмении диск Луны закрывает диск Солнца практически идеально), так что две в уравнении сокращаются. Таким образом, отношение угловых размеров равно отношению расстояний. Как мы уже знаем, отношение расстояний до Луны и до

Солнца равно углу AEM, выраженному в радианах.

Аристарх определил, что этот угол равен 3° (заметно больше истинного значения, которое вы вычислили в части b) и узнали, что оно равно 0,16°).

3° — это 1/20 радиана. Поэтому Аристарх заключил, что отношение размеров Солнца и Луны равно 20. Кроме того, Аристарх вычислил, что диаметр

Луны составляет 1/3 диаметра Земли (очень близко к 0,27 по современным оценкам), сравнив тень Земли на Луне во время лунного затмения с краем диска Луны. Из этого он сделал вывод, что диаметр Солнца примерно в

7 раз больше диаметра Земли. Количественная оценка снова ошибочна, на самом деле диаметр Солнца в 109 раз больше диаметра Земли, однако качественное утверждение — Солнце гораздо больше Земли — совершенно справедливо. Подобно тому как маленькая Луна вращается вокруг большой

Земли, Земля вращается вокруг Солнца, заключил Аристарх почти за две тысячи лет до Коперника.

17. Расстояние до Марса

Это вопрос о параллаксе. Рассмотрим длинный и узкий треугольник с вершиной на Марсе, внутренним углом = 2 угловые секунды и основанием s = 1000 километров. Мы хотим определить расстояние d ; малоугловая формула говорит нам, что s d =,

α

где нужно выразить в радианах. В радиане 200 000 угловых секунд, так что этот угол составляет 10–5 радиана. Тогда расстояние оказывается равно

174

Решения

1,000 км

8 d =

= 10 км.

5

10−

Это немногим меньше 1 а. е. Заметьте, что расстояние между Марсом и Землей меняется по мере движения этих планет по своим орбитам. Самое близкое расстояние, на которое они подходят друг к другу, составляет около 0,5 а. е. Это происходит, когда Марс находится в оппозиции , то есть когда Земля располагается прямо между Марсом и Солнцем и поэтому при наблюдении с Земли Марс оказывается в противоположной от Солнца точке небесной сферы.

18. Расстояние до Луны

Рассмотрим треугольник, в вершине которого находится Луна, а две длинные стороны идут к вам и вашему приятелю. Луна находится прямо над головой, так что линия между вами с приятелем перпендикулярна высоте этого треугольника. Расстояние до Луны составляет 400 000 километров, поэтому малоугловая формула дает угол в радианах

200 км

θ =

.

400,000 км

Прежде чем все делить и умножать, давайте сразу переведем радианы в угловые секунды, для чего домножим выражение на количество угловых секунд в радиане, которое равно 200 000:

200 угловых секунд 200

θ

=

×200,00

=

угловых секунд = 100.′′

400,000 радиан

2

Результаты измерения различаются на 100 угловых секунд.

Кстати, вам нужно сверить часы, чтобы измерить положение Луны строго одновременно. Луна движется по орбите вокруг Земли, поэтому ее положение на фоне звезд постоянно меняется. Нельзя допускать, чтобы этот эффект снизил точность измерения параллакса!