Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

175

Решения

19. Массы и плотности в Солнечной системе

19. аСогласно малоугловой формуле, угол, противолежащий объекту в небе, выраженный в радианах, составляет размер этого объекта, поделенный на расстояние до нас. Размер объекта — это его диаметр, а нам нужен радиус, поэтому радиус Солнца противолежит углу, равному 0,25°.

Тогда малоугловая формула говорит, что радиус Солнца — это расстояние, умноженное на этот угол (в радианах):

8

1 радиан

R

= d ×θ ≈ 1,5×10 км×0,25°×

=

Солнца

60°

7

2,5×10 км 5

6

5

=

= ×10 км ≈ 6,3×10 км.

40

8

Здесь мы применили приблизительный перевод из радиан в градусы.

Чтобы вычислить плотность Солнца, нужно разделить его массу на его объем. Масса Солнца М

= 3 105 М

, а объем равен объему сферы

Солнца

Земли радиусом R

Тогда его плотность равна

Солнца

5

24

M Солнца

3×10 ×6×10 кг

ρ

=

≈

≈

Солнца

4π 3

R

4× 6,3×10 км×10 м / км

Солнца

(

)3

5

3

3

30

2×10 кг

3 кг

≈

= 2×10

= 2ρ.

24 3

3 воды

4×250×10 м м

Плотность Солнца примерно вдвое больше плотности воды. Примечание: точный ответ ближе к 1,4 плотности воды; самая большая погрешность объясняется слишком вольным приближением при оценке углового размера

Солнца — более точная величина составляет 0,55°.

19. bМасса Солнечной системы состоит в основном из массы Солнца, о чем мы говорим в части d). Чтобы вычислить плотность Солнечной системы, нам нужно найти объем сферы радиусом 30 а. е.

176

Решения

30

M Солнца

2×10 кг

ρ

≈

≈

≈

Солнечной системы

4π 3

R

4× 30×1,5×10 км×10 м / км

Нептуна

(

)3

8

3

3

30

2×10 кг

9

− кг

1

− 2

≈

= 5×10

≈ 5×10 ρ.

36 3

3 воды

4×90×10 м м

19. сКометы почти не добавляют массы к общей массе Солнечной системы. Поэтому, по аналогии с частью b), мы получаем среднюю плотность облака Оорта, разделив массу Солнца на объем сферы радиусом

1 световой год:

30

30

M Солнца

2 × 10 кг

2 ×10 кг

ρ ≈

≈

≈

=

3

48 3

4π 3

16

⎛

⎞

4 × 10 м

R

10

Оорта

4 × 1 св. год

3

×

⎜

1 св. год⎟

⎝

⎠

19

−

кг

22

5 10

5 10−

= ×

≈ ×

ρ.

3 воды м

Какая низкая плотность!

19. dСамое массивное тело в Солнечной системе после Солнца —

Юпитер, чья масса составляет всего 1/1000 массы Солнца. Сумма масс всех остальных планет составляет меньше 1,5 масс Юпитера (всего 447 масс

Земли, или 0,15 % массы Солнца), поэтому утверждение, что масса планет в Солнечной системе пренебрежимо мала, — это очень хорошее приближение.

20. Силы, действующие на книгу

20. аНа первый взгляд кажется, что книга покоится относительно своего окружения. Мало того, она остается в покое, так что ее скорость не меняется, а значит, ее ускорение равно нулю. Второй закон Ньютона гласит, что сумма сил, воздействующих на книгу, равна массе книги, помноженной на ускорение, которое в нашем случае равно нулю. Поэтому сумма всех сил, воздействующих на книгу, равна нулю. Разумеется, на книгу действует сила

177

Решения тяготения Земли, направленная вертикально вниз, а следовательно, должна существовать равная по величине и противоположная по направлению сила, которая ее уравновешивает. С этой силой на книгу действует стол. Книга давит на стол силой своего веса, а стол давит на нее в ответ с той же силой согласно третьему закону Ньютона; тогда силы, действующие на книгу, уравновешиваются, как и должно быть.

Вертикальная сила, с которой действует на книгу стол и которая не дает ей упасть на пол с ускорением, часто называют нормальной или контактной силой. Поскольку стол твердый и прочный, он способен обеспечивать такое воздействие на произвольно большой вес, если, конечно, не сломается

(бесконечно жестких предметов не бывает!).

Но постойте! Взглянем на все это с другой стороны. Нам известно, что книга движется по окружности, поскольку Земля вращается вокруг своей оси.

Можно ли сказать, что книга движется по околоземной орбите? Очевидно, нет: орбитальное движение происходит, когда на тело не действует никаких сил, кроме гравитации. Однако книга все же движется с некоторой скоростью относительно оси вращения Земли, более того, эта скорость переменна

(Земля вращается в постоянном темпе, но направление движения книги все время меняется). Для определенности положим книгу на стол в Кито, столице

Эквадора, на экваторе Земли. Каково ее ускорение? Для равномерного кругового движения со скоростью v по окружности радиуса r ускорение a = v 2/ r .

Найдем v . Книга совершает полный оборот (расстояние 2 r , где r — радиус

Земли) за период Р = 24 часа, то есть примерно за 105 секунд. Скорость v , таким образом, равна 2 r / Р , и тогда ускорение составляет

2

2

2

6 v

4π r 4π ×6×10 м

2

−

2 a =

=

≈

≈ 2,5×10 м / с

2 r

P

(

.

10 c)2

5

(Обратите внимание на полезное приближение 2 10). Это небольшое ускорение, несколько десятых долей процента от ускорения свободного падения, направленного прямо к Земле, на поверхности Земли (около 10 м/с2).

178

Решения

Итак, суммарное ускорение книги ненулевое, пусть и очень маленькое. Нормальная сила, с которой стол действует на книгу, не полностью уравновешивает силу притяжения Земли, поскольку они в сумме должны составлять массу книги, помноженную на ускорение, которое мы только что вычислили. Для большинства повседневных задач пренебрегать этой крошечной «чистой» силой, которая поддерживает движение книги по кругу, можно и нужно, однако мы проделали все эти выкладки, чтобы подробно объяснить, как применяется второй закон Ньютона.

20. bРаз уж мы приняли во внимание ускорение, объясняющееся движением книги вокруг Земли в результате вращения Земли, следует ли нам задуматься о том, что Земля вместе со столом и лежащей на нем книгой вращается вокруг Солнца? Следует! Ведь это тоже круговое движение, а следовательно, его нельзя считать равномерным. Вычислим его: 2

2

11

4π r 4π ×1,5×10 м

3

−

2 a =

≈

≈ 6×10 м / с,

2

P

(3×10 c)2

7 где мы подставили радиус земной орбиты и период обращения Земли по ней. Это ускорение вызвано гравитационным воздействием Солнца на книгу.

Оно меньше, чем ускорение, вызванное вращением Земли, но всего раза в

4 или около того. Поэтому общее ускорение книги — это векторная сумма двух ускорений, которые мы только что вычислили.

Ускорение книги, вызванное ее вращением вокруг Солнца, невелико, но его было бы достаточно, чтобы удержать книгу на орбите вокруг Солнца, если бы мы могли каким-то волшебным образом убрать Землю и стол, оставив книгу одиноко парить в космическом пространстве.