Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

20. сВ этой задаче нам предлагают найти отношение совокупного гравитационного воздействия на книгу всех планет и Луны к гравитационному воздействию Солнца. Мы выстраиваем все планеты вдоль воображаемой линии, которая проходит через Солнце и Землю. Тогда легко вычислить расстояние от каждого из этих небесных тел до Земли. Обратите внимание, 179

Решения что внешние планеты находятся относительно Земли по другую сторону

Солнца, и в порядке увеличения расстояния до Земли у нас получается такая последовательность: Луна, Венера, Меркурий, Солнце, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран и Нептун.

Гравитационное воздействие каждого небесного тела на книгу равно

GM

M

планеты книги

F

=

,

планеты

2 r где r — расстояние от книги до соответствующей планеты. Сила, действующая на книгу со стороны Солнца, рассчитывается по той же формуле (естественно, в нее нужно подставить массу Солнца и расстояние до него). Тогда отношение силы, действующей на книгу со стороны Солнца, и силы со стороны любой планеты равно

2

F

M

⎛ 1 а.е.

планеты планеты

⎞

=

.

F

M

⎜ r

⎟

Солнца

Солнца ⎝ планеты ⎠

Здесь r также обозначает расстояние от книги (то есть от Земли: до планет так далеко, что в рамках этих расчетов мы имеем право приближенно считать Землю бесконечно маленькой) до соответствующей планеты.

В таблице ниже мы приводим это отношение для каждой из планет и для

Луны, опираясь на массы планет из таблицы 9.1 «Большого космического путешествия».

Планета r (а. е.)

М

/М

F

/F

планеты

Солнца планеты

Солнца

Луна

0,00252

3,7 10–8

5,9 10–3

Венера

0,28

2,7 10–6

3,4 10–5

Меркурий

0,61

1,7 10–7

4,6 10–7

Марс

2,52

3,3 10–7

5,2 10–8

Юпитер

6,2

1,0 10–3

2,6 10–5

180

Решения

Планета r (а. е.)

М

/М

F

/F

планеты

Солнца планеты

Солнца

Сатурн

11

2,9 10–4

2,4 10–6

Уран

20

4,4 10–5

1,1 10–7

Нептун

31

5,1 10–5

5,3 10–8

Планеты и Луна находятся на одной линии, поэтому их гравитация просто складывается. Мы узнали, что отношение общей силы, которая действует на книгу со стороны этих планет, к силе тяготения Солнца составляет

6,0 10–3, что очень мало (самый большой вклад в эту величину вносит Луна, поскольку она ближе всех). Неудивительно: движением тел в Солнечной системе в основном управляет Солнце.

Таким образом, Луна и планеты привносят совсем немного в силу, действующую на книгу. Подобным же образом силы, с которыми планеты действуют друг на друга, малы по сравнению с силой, с которой действует на каждую из них Солнце. Тем не менее эти силы ненулевые и оказывают измеримое воздействие на орбиты планет. Их нужно учитывать, если хочешь подробно разобраться, как устроены эти орбиты. Именно из-за воздействия дополнительных сил орбиты планет не представляют собой идеальные эллипсы. Сегодня благодаря хитроумным компьютерным программам произведены вычисления, позволяющие уточнить форму орбит в мельчайших деталях.

21. По баллистической траектории

21. аТут все просто: спутник вращается по окружности радиусом

400 + 6400 = 6800 км вокруг центра Земли. Длина орбиты равна этой величине, умноженной на 2, и это расстояние спутник проходит за 90 минут, то есть 5400 секунд. Таким образом, скорость спутника составляет расстояние 2π×6,800 км км скорость =

=

≈ 8.

время

5,400 с с

181

Решения

(Здесь мы для арифметических расчетов воспользовались калькулятором). Если мы хотим дать ответ в километрах в час, можно просто умножить полученный результат на 3600 секунд в часе, и мы получим км с км

8 ×3,600

≈ 30 000

.

с час час

21. bДля этого проще всего записать, как соотносятся друг с другом орбитальная скорость v , масса центрального гравитирующего объекта М

(в данном случае — Земли) и радиус орбиты r : 2

GM

v =

.

r

Если мы решим это уравнение относительно М (что от нас и требуется), получим

2 v r

M =

.

G

Теперь осталось только подставить числа, внимательно следя за размерностью (переведем все в систему единиц МКС). Получим: (8×10 м/ с)2

3

6

×6,8×10 м

M

=

.

Земли

11

−

3

2

6,67×10 м / кг / с

Обратите внимание, какая странная размерность у G , однако конечный результат мы, как и полагается, получим в килограммах. Если мы примем приближение 6,8/6,67 = 1, получим

M

= 6,4 1024 кг,

Земли что составит около 6 1021 тонн.

22. Как преодолетьиз земную гравитацию?

Обозначим расстояние от Земли до Луны как D , а расстояние от Земли до спутника по этой линии как r . Сначала постараемся как можно дольше

182

Решения обходиться алгебраическими приемами, а числа подставим только в самом конце: алгебра обычно проще арифметики! Мы ищем расстояние r , на котором силы притяжения Земли и Луны уравновешиваются:

GmM

GmM

Земли

Луны

F =

=

,

2 r

( D − r )2 где m — масса спутника. Это можно слегка упростить, если сократить общие множители и немного преобразовать:

2

⎛ D − r ⎞

M Луны

⎜

⎟ =

.

⎝ r ⎠

M Земли

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Справа у нас получится квадратный корень отношения масс Луны и Земли. Масса Луны составляет около 1 % массы Земли, квадратный корень из этого отношения равен 0,1.

Тогда получаем

D − r = 0,1 r

D − r = 0,1 r

1,1 r = D

D

r =

≈ 0,9.

D

1,1

Таким образом, примерно на 90 % пути от Земли до Луны (на расстоянии около 340 000 километров от Земли) гравитационное воздействие обоих небесных тел уравновешивается.

Задумайтесь вот над чем: когда извлекаешь квадратный корень, всегда есть два решения — положительное (которым мы и воспользовались) и отрицательное. Каков же физический смысл отрицательного решения?

Давайте остановимся на этом подробнее. Если проделать все вышеописанные вычисления, но добавить минус, получим

183

Решения

— ( D — r ) = 0,1 r

D

r =

≈ 1,1.

D

0,9

В этом случае космический аппарат находится от Земли дальше, чем

Луна. Существует точка по ту сторону Луны, на которой гравитационное воздействие Земли и Луны равны, но там эти векторы сонаправлены, а не противоположны.

Когда астронавты с «Аполлона» отправились на Луну, много и ошибочно говорилось, что когда они миновали точку, где притяжение Луны сильнее притяжения Земли, они «вырвались из земной гравитации». Это, разумеется, не так: сколько ни удаляйся от Земли, сила ее тяготения GmM