Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

27. сОтношение периодов обращения по орбите Плутона и Нептуна равно 248,1/164,86 = 1,505 с точностью до четырех значащих цифр. Это достаточно близко (с разницей меньше 0,3 %) к соотношению 3:2. То есть за каждые два оборота Плутона вокруг Солнца Нептун совершает три оборота.

Такие резонансы в Солнечной системе не редкость. Оказывается, многие бреши в кольцах Сатурна вызваны резонансами между разными спутниками

Сатурна, а более сложные резонансы объясняют некоторые поразительно тонкие узоры в его кольцах. См., к примеру, снимки с космического зонда

«Кассини» (https://solarsystem.nasa.gov/missions/cassini/overview/).

27. dЭксцентриситет орбиты очень близок к нулю, поэтому не стоит удивляться, что афелий а (1 + е ) = 30,4 а. е. очень близок к длине большой полуоси. Здесь подобрать нужное число значащих цифр — дело довольно сложное. Можно решить, что эксцентриситет известен лишь до одной значащей цифры, поэтому и афелий нужно найти с той же точностью. На самом же деле главное в этих вычислениях — величина 1 + е , а она дана с точностью до трех значащих цифр.

27. еПеригелий равен а (1 — е ) = 39,48 (1–0,250) а. е. = 29,61 а. е., а афелий равен а (1 + е ) = 49,35 а. е. Перигелий Плутона меньше афелия

Нептуна, поэтому и в самом деле Плутон иногда оказывается несколько ближе к Солнцу, чем Нептун. Он лишь ненамного заходит внутрь орбиты

Нептуна и в последний раз побывал там с 1979 по 1999 год.

193

Решения

28. Роковые астероиды?

28. аТретий закон Кеплера дает нам формулу для большой полуоси: а (а. е.) = Р 2/3 (годы).

Подставим числа и получим с точностью до трех значащих цифр, что а = 1,65 а. е.

Однако орбита у астероида не круглая. Перигелий задается формулой а (1 — е ), а афелий — а (1 + е ). Поскольку е = 0,5, эти множители соответственно равны 0,5 и 1,5, поэтому мы получаем перигелий 0,83 а. е. и афелий

2,5 а. е. Выходит, что орбита астероида пересекает орбиту Земли, так что да, он угрожающий.

Не все астероиды вращаются в той же самой плоскости, что и Земля. К тому же, чтобы врезаться в Землю, они должны попасть в точку на

1 а. е. строго одновременно с Землей. Поэтому крайне маловероятно, чтобы астероид и в самом деле врезался в Землю, даже такой, как 2002 CY9, чья орбита пересекает 1 а. е. Однако на орбиту астероида может повлиять гравитационное притяжение других тел, в том числе и самой Земли, и из-за этого его орбита со временем слегка изменится (речь идет о десятках лет), и вероятность, что астероид столкнется с Землей, повысится. Рассчитать эти дополнительные возмущения трудно, поэтому астрономы не доверяют даже собственным количественным прогнозам орбит угрожающих астероидов больше чем на сто лет вперед.

28. bЕсли мы ускорим астероид на 2 см/с, он окажется в той точке, где может столкнуться с Землей через 20 лет, несколько раньше, чем при сохранении первоначальной траектории. Если он окажется там достаточно рано, Земля не успеет дойти до этой точки, поэтому астероид промахнется мимо Земли и ничего не случится. Зададим простой вопрос: какое расстояние даст прибавка скорости v = 2 см/с за время t = 20 лет? Если это расстояние больше радиуса Земли, мы спасены. Давайте вычислим его с точностью до одной значащей цифры:

194

Решения

7

3×10 с 1 км d = vt = 2 см / с×20 лет×

×

≈ 10000 км.

5

1 год

10 см

Радиус Земли равен 6400 км, поэтому, если первоначальная траектория астероида была направлена строго на Землю, то астероид пролетит мимо нас, если мы подпихнем его ракетой. Но он пролетит до ужаса близко, и если бы мы руководили этой миссией, то просили бы изменить его скорость существеннее, чем на 2 см/с.

Если бы мы могли за 20 лет сдвинуть астероид на 10 000 километров относительно его невозмущенной орбиты, это было бы впечатляющее достижение. Если бы нам и в самом деле грозило подобное столкновение, мы проделали бы более сложные расчеты и задались бы вопросом, насколько эллиптическая орбита вокруг Солнца, по которой двигается астероид, изменится из-за соударения с ракетой, однако расчеты, которые вы только что проделали, вполне отражают суть проблемы.

29. Комета Галлея и пределы применимости третьего закона

Кеплера

29. аТретий закон Кеплера гласит, что период такой орбиты вокруг

Солнца составляет 17,83/2 = 75,1 лет. Это близко к наблюдаемому периоду в 76,1 лет, но не тождественно ему. Аналогичным образом, если отталкиваться от периода, третий закон Кеплера даст большую полуось в

75,12/3 = 18,0 а. е. — опять же близко к наблюдаемой величине в 17,8 а. е., но не тождественно ей. Есть и другой способ это вычислить: Р 2 = 5790 лет2, а а 3 = 5640 а. е.3 — и эти числа не равны.

29. bТретий закон Кеплера прямо следует из законов движения и всемирного тяготения Ньютона в предположении, что единственная значимая гравитационная сила — это притяжение Солнца. Но на комету Галлея действуют дополнительные силы двух типов. Когда она приближается к Солнцу, из нее вырываются потоки газа и пыли. Третий закон Ньютона учит нас, 195

Решения что каждое действие вызывает противодействие, поэтому комета в ответ на извержение этих потоков ощущает некоторую силу. Кроме того, орбита кометы Галлея подвергается возмущениям за счет гравитации планет. Хотя возмущающее воздействие планет можно рассчитать достаточно аккуратно, силы реакции, вызванные испусканием газа из ядра кометы, поддаются оценке в гораздо меньшей степени, поэтому подробно рассчитать орбиту кометы Галлея при приближении к Солнцу становится трудно.

30. Сила действия равна силе противодействия

30. аПериод орбиты можно рассчитать прямо из третьего закона Кеплера. В частности, мы говорим об орбитах вокруг Солнца, поэтому можем взять закон Кеплера в его простейшей форме:

Р 2 (в годах) = а 3 (в а. е.).

Нам дано, что а = 5,2 а. е.; 5,2 в кубе равно 140 (мы посчитали на калькуляторе), а квадратный корень из этого числа примерно равен 12. Таким образом, период составляет 12 лет.

30. bЮпитер двигается по кругу радиусом 5,2 а. е., и на полный круг у него уходит 12 лет. Вычислить скорость просто:

11

2 r

π

2π×5,2×1,5×10 м v =

≈

= 13000 м / с.

7

P

12 лет×π×10 с / год

Это немногим меньше, чем половина скорости движения Земли вокруг

Солнца. Неудивительно, ведь Юпитер находится дальше от Солнца, поэтому гравитационное воздействие на него слабее, а значит, он медленнее двигается.

Можно решить эту задачу и другим способом. Мы знаем, что Земля вращается вокруг Солнца со скоростью 30 км/с = 30 000 м/с. Более того, мы знаем, что скорость равна пройденному расстоянию (2 r ), деленному на период Р . Однако Кеплер учит нас, что период пропорционален r 3/2, поэтому скорость пропорциональна r / r 3/2 = r –1/2. Следовательно, скорость Юпитера на