Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

Орбита Земли

Солнце

Видимое движение

Рис. 9а

Орбита Земли (в проекции)

Солнце

Видимое движение

Рис. 9b

+

=

Собственное движение

Движение, объясняемое параллаксом

Видимое движение

Рис. 9c

Рис. 9.Схема к задаче 36.

37. Совсем маленькие углы и далекие звезды

37. аРассмотрим длинный узкий треугольник с острым углом, равным 10 угловым микросекундам, и длиной d = 4000 км. Естественно, этот угол надо перевести в радианы. Малоугловая формула гласит, что противолежащая сторона имеет длину

205

Решения

3

3 м

6 микрон

5 s d

4 10 км 10

10

10−

= θ = ×

×

×

×

угловых секунд×

км м

1 радиан

×

= 200 микрон.

5

2×10 угловых секунд

200 микрон — это размер амебы. То есть 10 угловых микросекунд —

это угол, которому противолежит лос-анджелесская амёба, если смотреть на нее из Нью-Йорка.

37. bМалоугловая формула = s / d говорит, что параллакс обратно пропорционален расстоянию d . Определение парсека гласит, что звезда с параллаксом в 1 угловую секунду находится на расстоянии в 1 парсек. Поэтому расстояние до звезды с параллаксом в 50 угловых микросекунд = 5 10–5 угловых секунд попросту равно

1 парсек = 20 000парсек,

5

5×10−

или 20 килопарсек, что сопоставимо с протяженностью всего Млечного Пути. Вот одна из причин, почему астрономы так любят «Гею»: мы впервые в истории можем измерять расстояния почти до всех звезд

Млечного Пути.

38. Яркость, расстояние и светимость

38. аДля начала посмотрим, что здесь происходит с физической точки зрения. Нам известны радиус звезды R и ее температура Т , и мы знаем формулу, где светимость сферического абсолютно черного тела определяется двумя этими величинами:

L = 4 R 2 T 4.

Так что, как рассчитать светимость, мы знаем. Кроме того, нам известна измеренная яркость b , а закон обратных квадратов связывает светимость и расстояние с яркостью, поэтому мы сможем определить и расстояние.

206

Решения

Для этой задачи вам не нужно знать численное значение (постоянной

Стефана — Больцмана), которая входит в формулу для абсолютно черного тела. Задумаемся об этом, записав формулу для абсолютно черного тела дважды — один раз для звезды (*), второй для Солнца: L = 4 R 2 T 4.

*

*

*

L

= 4 R

2 T

4.

Солнца

Солнца

Солнца

Нам понадобится отношение этих двух формул; как мы сейчас убедимся, это заметно облегчит нам вычисления: 2

4

L

⎛

⎞ ⎛

⎞

∗

R ∗

Е ∗

=

.

L

⎜ R ⎟ ⎜ T ⎟

Солнца

Солнца

Солнца

⎝

⎠ ⎝

⎠

Как видим, сократилась! Более того, подсчитать отношения радиусов и температур очень просто, поэтому отношение светимостей получается

2

4

L ∗

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1⎞

2

−

1

4

= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = 10 × = 6×10−.

L

⎝ 10 ⎠ ⎝ 2 ⎠

16

Солнца

Эта звезда близка к нижней части главной последовательности; светимость таких звезд значительно меньше, чем у Солнца. В абсолютных величинах она равна

L = 6 10–4 L

= 6 10–4 4 1033 эрг/с = 2,4 1030 эрг/с.

*

Солнца

Каково расстояние d до этой звезды? Закон обратных квадратов гласит

L

b =

,

2

4 d

π

или

1/2

⎛ L

d

⎞

= ⎜

⎟.

⎝ 4 b

π ⎠

Подставим числа:

1/2

30

⎛

2,4×10 эрг / с

⎞

d = ⎜

⎟.

11

−

2

⎝ 4π×6×10 эрг / с / см ⎠

207

Решения

6 4 = 24, 10/ = 3, поэтому арифметика выглядит не так уж и страшно: d = (3 1029–1 + 11 см2)1/2 = (30 1038 см2) 1/2 5 1019 см.

Вспомним, что в световом году около 1018 см, и получим расстояние около 50 световых лет. По звездным меркам это рукой подать.

Кроме того, мы знаем, что в одном парсеке 3,26 световых года, поэтому вычисленное расстояние — это около 15 парсек. Параллакс в угловых секундах — это обратная величина расстоянию в парсеках, поэтому параллакс этой звезды примерно равен 0,06 угловой секунды, или 60 угловым миллисекундам.

38. bРасстояние зависит от светимости и яркости. Какова светимость звезды? Точно такие же рассуждения, как в части а), дадут светимость относительно Солнца:

2

4

4

L

⎛

⎞ ⎛

⎞

∗

R ∗

T ∗

()2 ⎛ 4500

200

⎞

=

=

×

⎜

⎟ ⎜

⎟

⎜

⎟ ≈ 14000.

L

R

T

⎝ 5800

Солнца

Солнца

Солнца

⎠

⎝

⎠ ⎝

⎠

Мы уже усвоили, что 1 а. е. примерно в 200 раз больше радиуса

Солнца (и в этом случае все-таки взяли калькулятор). Мы можем вычислить светимость звезды и, следовательно, ее яркость точно так же, как и раньше, но пойдем немного другим путем: проделаем немного больше алгебраической работы, чтобы избежать лишней арифметики. Суть этих приемов — посмотреть на уже проделанную работу и постараться воспользоваться результатами, чтобы по мере возможности не повторять вычислений. Вспомним, что яркость у этих звезд одинаковая. Поэтому мы можем записать формулы, связывающие расстояние, светимость и яркость каждой звезды:

1/2

⎛ L

⎞

звезды 1 d

= ⎜

⎟,

звезды 1

⎝ 4 b

π ⎠

1/2

⎛ L

⎞

звезды 2 d

= ⎜

⎟,

звезды 2

⎝ 4 b

π ⎠

208

Решения где «звезда 1» — это холодная звезда главной последовательности из части а), а «звезда 2» — красный гигант. Их яркость b одинакова. Опять же возьмем отношение двух выражений и получим:

1/2 d

⎛ L

⎞

звезды 2 звезды 2

= ⎜

⎟.

d

⎜ L

⎟

звезды 1 звезды 1

⎝

⎠

Подставим числа, где возьмем светимости пропорционально солнечной, и получим

1/2

4 d

⎛ 1,4×10 ⎞

= ⎜

⎟ ≈ (2×10)1/2 звезды 2

7

≈ 4000.

4 d

⎝ 6×10−

звезды 1

⎠

То есть расстояния до этих двух звезд равной яркости различаются в

4000 раз! До «звезды 1» 50 световых лет, значит, «звезда 2» находится в

4000 раз дальше, то есть в 200 000 световых годах — примерно в 60 килопарсеках. Такая звезда должна находиться во внешнем гало Млечного

Пути. Находить подобные звезды непросто: большинство красных звезд такой яркости на небе — это звезды главной последовательности, а не очень далекие красные гиганты. Хотя параллакс такого далекого красного гиганта невозможно измерить даже при помощи космического аппарата

«Гея», самого чувствительного телескопа, созданного для этой цели (см.

задачу 37), сам по себе факт, что параллакс очень мал, подскажет, что до звезды очень далеко, больше 20 килопарсек. А тогда, если учесть измеримую яркость звезды, мы сделаем вывод, что светимость у звезды огромна, так что это не может быть звезда главной последовательности, а значит, перед нами красный гигант.