Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

43. bПик спектра находится примерно около 400 нанометров, то есть

4 10–5 см. Пиковая длина волны и температура звезды связаны следующим образом:

218

Решения

0,3 см

T ≈

=

0,3

≈ 7500 К,

−

λ

4 ×

5

10 см пиковая что и в самом деле близко к номинальной температуре звезд класса F.

44. Сияющее Солнце

44. аЧтобы вычислить энергию, которую дает 1 грамм водорода, когда сгорает в ядре Солнца и превращается в гелий, надо сначала вычислить энергию, высвобождаемую при создании одного атома гелия: Е = m c2 — m c2= (6,693 10–27 кг — 6,645 10–27 кг)(3,0 108 м/с)2 =

4H

He

= 4,3 10–12 Дж.

Тогда общее количество энергии, выделяющееся при сгорании 1 грамма водорода в гелий, — это количество энергии, вырабатывающейся на 1 атом, умноженное на общее число атомов гелия (или, что то же самое, общее число атомов водорода, деленное на 4) в 1 грамме. Последняя величина попросту обратна массе атома гелия (в граммах, а не в килограммах), поэтому получаем

1 г

Е

N Е =

1 грамм Н = Не m Е = (6,6 10–24)–1(4,3 10–12 Дж) = 6,4 1011 Дж.

He

44. bМаксимальная энергия, которую способно выработать Солнце за всю свою жизнь, пережигая водород, — это масса содержащегося в нем водорода в граммах, умноженная на энергию, высвобождаемую при сгорании

1 грамма водорода:

Е

= 3 М

Е

= 3 (2 1033 г) (6,4 1011 Дж/г) 1045 Дж.

Солнца,Н

4 Солнца 1 грамм Н 4

(Обратите внимание, что мы перевели массу Солнца в граммы).

Теперь мы можем оценить максимальное время, которое Солнце еще просветит с нынешней светимостью, пережигая водород в гелий, следующим образом:

45

E

t = Солнца, Н =

10 Дж

= 2,5× 18

10 с ≈ 7 × 10

10 лет.

L

4 × 26

10 Дж / с

Солнца

219

Решения

Время жизни звезды главной последовательности того же типа, что и

Солнце, составляет всего 1010 лет. Но достаточно горяч, чтобы перегорать в гелий, только водород из ядра Солнца, поэтому, когда жизнь Солнца как звезды главной последовательности завершится, в гелий перегорит лишь около 10 % его водорода.

45. Термоядерный синтез и принцип неопределенности Гей-

зенберга

45. аНас попросили приравнять первоначальную кинетическую энергию 3 kT (не забывайте, что у нас два протона!) и конечную кинетическую энергию q ( e 2/ r ), а затем решить полученное уравнение для температуры.

Проделаем это алгебраически:

2

3 = e kT q ,

r

2

= qe

T

,

3 kr а затем подставим числа. За r возьмем диаметр протона, то есть 10–15 м.

2

⎛ 1

18

⎜

10− ⎞

×

1

⎟

9

⎝ 6

⎠

2

−

2

К

T = ×9×10 ×

Дж×м×кулон × кулон ×

,

23

−

15

3

1,4×10 ×10−

Дж×м где мы собрали все единицы размерности в конце выражения. Чтобы проделать арифметические расчеты, вынесем за скобки все степени 10 и получим

1

⎛ 1⎞2

9−36+22+

× ×

1

9 ⎜ ⎟ ×

15

10

К = × 10

10 К = 5× 9

⎝ ⎠

10 К,

3

6

2 или 5 миллиардов кельвинов. Чтобы упростить арифметику, мы приближенно приняли 6 1,4 10.

Пять миллиардов кельвинов — это очень жарко, даже слишком: температура ядра Солнца составляет около 15 миллионов кельвинов, то есть в 300 раз меньше нашей расчетной величины. Так что при прямолинейном

220

Решения подходе может показаться, что для термоядерного синтеза в недрах Солнца попросту недостаточно горячо.

45. bУ этой задачи несколько частей. Сначала нас просят проверить размерность выражения для длины волны де Бройля на предмет единиц длины. Вспомним, что 1 Дж = 1 кг м2 /с2, и обнаружим, что величина h / mv имеет размерность

×

кг × 2

Дж с = м × с = метры,

кг ×м / с с кг ×м чего мы, собственно, и ожидали.

Кинетическая энергия и температура газа связаны отношением

3 kT = 1 2 mv ,

2

2 решив которое для скорости, получим

= 3 kT

v

.

m

Здесь m — это масса несущейся частицы, в нашем случае протона.

Мы подставляем это выражение в выражение для длины волны де Бройля и получаем

λ = h =

h .

mv

3 mkT

Теперь мы готовы повторить вычисления из части а), подставив вышеуказанное выражение для вместо r в нашу формулу для температуры: 2

2

2

= qe = qe 3 mkT = 1 qe mkT

kT

.

3 r

3 h

3 h

Это выражение нам надо решить относительно T . Поделим обе части на kT , извлечем квадратный корень и получим

2 4

= 1 q e m

T

.

2

3 h k

221

Решения

Прекрасно, теперь можно и числа подставить:

2

(

4

1

1

Дж м

9 × 9

10)2

⎛

⎛

18 ⎞

26

× ⎞

−

−

×

4

⎜ ×10 ⎟ × × 10

×кулон ×

⎜

кг

2 ⎟

1

⎝ 6

⎠

6

⎝ кулон ⎠

T =

.

3

⎛

2

2

2

−33 ⎞

1

−22

(Дж×с) ×Дж /К

⎜ ×10 ⎟ × ×

⎝

⎠

10

3

6

Постоянную Больцмана мы взяли в приближенном значении 1/6 10–22, поскольку предвидели некоторые арифметические действия.

Все единицы мы вынесли в конец. Давайте сначала поработаем над ними. Обратите внимание, что все кулоны сокращаются; прекрасно. Теперь обратите внимание, что в числителе джоуль в квадрате, а в знаменателе —

в кубе, так что у нас остается размерность

2 м × кг К.

2

Дж × с

Вспомним, что джоуль — это кг м2/с2, и тогда вся первая часть сокращается, и остаются только К — единицы температуры. Это осмысленно!

Теперь займемся арифметикой. Для этого мы вынесем отдельно все численные множители и отдельно — все степени 10:

⎛ 1⎞5

2

9 × ⎜ ⎟

1

⎝ 6⎠

18−72−26+66+

×

×

22

10

К,

3 ⎛ 2⎞2 1

⎜ ⎟ ×

⎝ 3⎠ 6 а это превращается в

3 × 8 ≈ 1

10 K

× 8

10 K = 5× 6

10 K,

64

20 что в три раза меньше, чем реальная температура в ядре Солнца. На самом деле это число ближе к температуре ядра самого холодного белого карлика класса М (то есть звезды, чей массы едва хватает на термоядерный синтез в ее ядре). Приходим к выводу, что температуры внутри Солнца хватает для слияния протонов.

222

Решения

Эти вычисления первым проделал великий российско-американский физик Георгий Гамов в начале тридцатых годов прошлого века, когда астрономы еще не могли понять, благодаря каким процессам звезды светят.

Процесс слияния двух частиц на расстоянии одной длины волны де Бройля друг от друга называется квантовое туннелирование и упоминается в рассуждениях о природе ранней Вселенной в главе 23 «Большого космического путешествия».

46. Свойства белых карликов

46. аПараллакс звезды в угловых секундах связан с расстоянием до нее в парсеках: расстояние = 1/параллакс. Для заданного параллакса получаем расстояние 2,6 парсек, то есть 8,6 светового года.