Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

g =

нейтронной звезды = 3

12

2

3 10 м / с.

2 r

(10 м)

= ×

2

4

Чтобы поднять массу m = 1 грамм на 1 сантиметр, потребуется энергия mgh = 1 г 3 1014 см/с2 1 см = 3 1014 эрг = 3 107 Дж.

Это очень много энергии! Типичный рацион дает нам 2000 калорий 4

103 Дж/кал = 8 106 Дж в день, то есть для того, чтобы накопить достаточно энергии на подъем такой массы, придется есть 4 дня! О том, чтобы поднять собственное тело, например, встать, на нейтронной звезде, естественно, не может быть и речи.

49. bНам надо вычислить разницу ускорения свободного падения g между двумя точками, одна прямо на поверхности нейтронной звезды, то

227

Решения есть на расстоянии от центра r — в одном радиусе нейтронной звезды), 1 а другая чуть-чуть дальше (на расстоянии r ; разница между r и r — ваш

2

1

2 рост, скажем, 2 метра, — гораздо меньше и r , и r ).

1

2

Тогда

GM GM

⎛ 1 1 ⎞

Δ g =

−

= GM

−

.

2

2

⎜ 2

2 ⎟

r r r r

1

2

⎝ 1

2 ⎠

Здесь М — это масса нейтронной звезды.

Продолжим, следуя общему правилу, что всегда лучше придерживаться алгебры как можно дольше, а числа подставлять лишь в самом конце: 2

1 1 r r r r r r

2 − 2

1

(2 − 1)(2 + 1)

− =

=

.

2

2

2 2

2 2 r r r r r r

1

2

1 2

1 2

Здесь пора прибегнуть к некоторым приближениям. Мы знаем, что r — r = 2 метра, и тут все просто. Но еще мы знаем, что разница между r и

2

1

1 r очень мала по сравнению с обеими величинами, поэтому очень хорошим

2 приближением станет r + r 2 r и аналогично r 2 r 2. Подставив эти при-

2

1

1

2

1 ближенные значения в наше уравнение, получим

1 1 ( r r 2 r 2 r r

2 − 1) × 1

(2 − 1)

− ≈

=

.

2

2

4

3 r r r r

1

2

1

1

Так что теперь мы можем записать

2 GM ( r − r

2

1)

2 GM r g

Δ

Δ =

=

,

3

3 r r

1

1 где r = ( r — r ). В сущности, мы сейчас взяли производную, просто не стали

2

1 это так называть. Вы только что решили задачу из области дифференциального исчисления! Но мы можем поступить еще умнее и вспомнить формулу ускорения как такового:

= GM

g

.

2 r 1

228

Решения

Тогда мы можем переписать разницу в виде

Δ

Δ = 2 r g g ,

r

Что полезно, поскольку мы уже вычислили g в части а). Здесь мы ищем разницу в ускорении между ногами и головой. Для роста 2 метра это дает

2 м g = 2

3 1012 м/с2 109 м/с2.

4

10 м

Так что сила натяжения между вашими ногами и головой окажется в

100 миллионов раз сильнее земной гравитации. Вас разорвет в клочки, не успеете вы долететь до поверхности.

Эту задачу можно решить и по-другому, просто вычислив ускорение свободного падения на высоте 10 км и на высоте 10 км + 2 м, и взяв их разность. Это сработает, но только если взять большое количество значащих цифр; если бы требовалось сосчитать разницу ускорений на расстоянии, скажем, 1 мм, ни на одном калькуляторе для этого не хватило бы разрядов.

50. Расстояние до сверхновой

50. аВ задаче сказано, что Крабовидная туманность имеет приблизительно сферическую форму и расширяется одинаково во всех направлениях.

В этом случае скорость внешней границы будет одинаковой и составляет

1200 км с–1. Диаметр туманности растет со скоростью 0,23 угловой секунды в год, что соответствует скорости изменения расстояния от центра до края в половину этой величины, то есть в 0,12 угловой секунды в год (поскольку две «стороны» внешней границы расширяются в направлении от центра).

За год внешняя граница смещается на расстояние

1200 км с–1 3 107 (с год–1) = 3,6 1010 км.

Это соответствует 0,12 угловой секунды на расстоянии d от остатка сверхновой, поэтому мы можем воспользоваться малоугловым приближением:

229

Решения

3,6 × 10

1радиан

×

=

10 км

0,12 угловой секунды

.

200000 угловых секунд d

Выразив отсюда d, получим

10

2× 5

10

1св. год d = 3,6 ×10 км×

= 6 × 16

10 км×

= 6000 световых лет.

13

0,12

10 км

50. bЕсли предположить, что скорость расширения была постоянной на протяжении всего существования сверхновой, туманность расширялась в течение времени, заданного ее нынешним размером, поделенным на скорость расширения (расчеты аналогичны поискам времени, которое требуется, чтобы пройти определенный путь с определенной скоростью). Тогда время, на протяжении которого сверхновая расширялась, составляет

(5±1,5)угловыхминут×60 угловых секунд =1200±300лет.

1/ 4 угловой секунды /год

Мы делаем вывод, что свет от сверхновой дошел до нас от 500 до

1100 года н. э. (то есть 900–1500 лет назад). Наблюдения сверхновой в

1054 году соответствуют второй дате.

Естественно, сверхновая находится на расстоянии в 6000 световых лет, поэтому мы видим то, что было 6000 лет назад. Такова же временная задержка между конкретными событиями в истории сверхновой и поступлением данных о них к нам. Потому мы и говорим, что свет от взрыва сверхновой дошел до нас от 500 до 1100 года н. э. На самом деле сверхновая взорвалась за 6000 лет до этого.

50. сКинетическая энергия массы m , движущейся со скоростью v , равна 1/2 mv 2, поэтому общее количество энергии составляет

1

1

2 × 30

E = mv = × M

×

10 кг

20

×(1,2×10 м/ с)2

2

6

= 3 × 43

10 Дж,

Солнца

2

2

1 M Солнца где мы перевели все в единицы МКС. Светимость звезды класса О, как нам известно, в 103 раз больше солнечной, то есть составляет примерно

230

Решения

4 1029 Дж/с. Тогда время, которое звезда класса О должна была светить, чтобы выработать столько энергии, равно отношению этих двух чисел: 43

3 ×10 Дж

3

14

1 год время =

= × 10 с ×

= 2,5 миллиона лет.

29

7

4 ×10 Дж / с 4

3 ×10 с

Это сопоставимо с временем жизни звезды класса О на главной последовательности.

51. Сверхновые очень энергичны!

51. аВ условиях задачи говорится, что энергия, которую сверхновая испускает (за месяц), равна энергии Солнца за 108 лет. Нам известно, что светимость (то есть энергия, излучаемая в единицу времени) Солнца составляет 4 1026 Дж/с, поэтому полная энергия, которую излучает сверхновая, это ее светимость, умноженная на время:

полная энергия = 4 1026 Дж/с 108 лет 3 107 с/год 1042 Дж.

51. bМы можем воспользоваться полученной выше полной энергией и поделить ее на время, равное 1 месяцу, однако еще проще сравнить ее с солнечной. Нам дано, что энергия, испускаемая сверхновой за месяц, равна энергии Солнца за 108 лет. Эта энергия равна светимости, помноженной на время, поэтому мы получаем, что