Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

46. bСолнце и Сириус В отличаются по яркости, поскольку у них разная светимость и они находятся на разном расстоянии от нас. Нам нужно отношение светимостей. Теперь мы знаем расстояние до Сириуса В, поэтому установим связь между яркостью и светимостью:

b

= L

/4 d 2

,

Сириуса В

Сириуса В

Сириуса В

b

= L

/4 d 2

.

Солнца

Солнца

Солнца

Возьмем отношение этих выражений и выразим из него отношение светимостей:

L

/ L

= b

/ b

( d

/ d

)2.

Сириуса В

Солнца

Сириуса В

Солнца

Сириуса В

Солнца

Здесь нам известны все нужные величины, так что посмотрим, что у нас получится:

L

/ L

= 10–13 ((2,6 парсека 2 105 а. е./парсек)/1 а. е)2 =

Сириуса В

Солнца

= 10–13 25 1010 = 0,025.

Здесь мы перевели расстояние до Сириуса В в а. е. Светимость Сириуса

В составляет 1/40 светимости Солнца.

223

Решения

46. сБелый карлик подчиняется закону Стефана — Больцмана, поэтому его температура связана с площадью поверхности и светимостью точно так же, как и у Солнца:

L

= T 4

4 R 2

.

Сириуса В

Сириуса В

Сириуса В

L

= T 4

4 R 2

.

Солнца

Солнца

Солнца

Здесь — это постоянная Стефана — Больцмана, значение которой нам знать не обязательно, в чем мы сейчас и убедимся.

Мы хотим узнать радиус Сириуса В. К этому можно подойти, если взять отношение двух выражений:

L

/ L

= ( Т

/ Т

)4 ( R

/ R

)2,

Сириуса В

Солнца

Сириуса В

Солнца

Сириуса В

Солнца или

R

= R

( L

/ L

)1/2 ( Т

/ Т

)–2.

Сириуса В

Солнца

Сириуса В

Солнца

Сириуса В

Солнца

Все отношения в правой части нам известны: отношение температур равно 25 000 К/5800 К = 4,3, а отношение светимостей — 0,025, поэтому радиус Сириуса В равен

R

= R

(0,0251/2 /18) = 0,009 R

=

Сириуса В

Солнца

Солнца

= 9 10–3 7 105 км 6000 км.

Сириус В размером примерно с Землю.

46. dМы знаем массу и радиус, поэтому вычислить плотность =

М / V нетрудно:

M

ρ

= M

/ V

=

Солнца

,

Сириуса В

Сириуса В

Сириуса В

4π 3

R

/ 3

Сириуса В

2 × 30

10 кг

2 × 30

10 кг

9

−

ρ

=

3

2 10 кг м,

Сириуса В

(

) ≈

= ×

×

× ×

3

21 3

6

10 м

4 6 10 м то есть в 2 миллиона раз больше плотности воды (1000 килограмм на кубический метр)! В астрономии нередки крайности, от крайне низкой плотности

224

Решения межзвездного и межгалактического пространства до непостижимо огромной плотности, которую вы только что вычислили. В одной из следующих задач мы будем изучать свойства нейтронных звезд, плотность которых еще больше.

Рассмотрим кубик этого вещества со стороной L и массой 1 тонна

(103 кг). Его объем задается формулой V = М /, поэтому

1/3

3

⎛

10 кг

L

⎞

=

= ×

= ×

⎜

− ⎟

(5 10− м)1/3

7 3

3

8 10− м.

9

3

⎝ 2×10 кг×м ⎠

Таким образом, сторона кубика чуть меньше сантиметра, так что он легко войдет в спичечный коробок.

47. Сжатие в белый карлик

Рассмотрим два ядра углерода, находящихся на расстоянии d друг от друга. Можно считать, что каждое ядро углерода занимает объем кубика со стороной d . Тогда соответствующая плотность равна массе ядра углерода, поделенной на объем этого кубика. Однако плотность белого карлика равномерна: плотность любого маленького куска его вещества равна плотности белого карлика в целом. Так что у нас есть достаточно информации, чтобы вычислить d :

1

26

12

10−

× ×

кг

9

3

6 плотность = 2×10 кг / м =

.

3 d

Найдем отсюда d . Небольшое преобразование даст d 3 = 10–35 м3 = 10 10–36 м3.

Такая запись облегчает задачу извлечения кубического корня. Мы знаем, что 23 = 8, что очень близко к 10, поэтому кубический корень из 10 примерно равен 2, чего, несомненно, достаточно до одной значащей цифры!

А тогда получаем d = 2 10–12 м.

225

Решения

Примерный размер атомов в нормальных условиях (то есть у нас на

Земле) — около 1 ангстрема, то есть около 10–10 м. Ядра атома углерода в белом карлике стиснуты до размеров примерно в 50 раз меньше! Мы знаем, что основную часть объема атома в нормальных условиях занимает пустое пространство; в белом карлике значительная часть этой пустоты вытесняется, и ядра находятся гораздо ближе друг к другу.

48. Вспышки в ночи

48. аСкорость — это расстояние, деленное на время. Точка на экваторе белого карлика совершает полный оборот (2 r ) за период Р , поэтому скорость этой точки v = 2 r / Р . Подставим числа и получим

2 × π × 6,4 × 6 v =

10 м ≈ 2× 10

10 м / с.

1/ 600 с

Скорость света составляет «всего» 3 108 м/с, поэтому объект размерами с белый карлик физически не может вращаться так быстро, ведь тогда его поверхность двигалась бы быстрее света!

48. bТе же вычисления для нейтронной звезды дают

2π r 2 × π × 4 v =

=

10 м ≈ 4× 7

10 м / с.

P

1/ 600 с

Это огромная скорость, но все же меньше скорости света, поэтому с физической точки зрения такое возможно.

48. сЦентростремительное ускорение равно

4 10 м / с

2

(×

)2

7

16 × 14 a v r c =

/ =

=

10

2 м / с = 1,6 × 11

2

10 м / с,

4

4

10 м

10 то есть в 16 миллиардов раз больше ускорения свободного падения на поверхности Земли!

Дает ли сила тяжести необходимое ускорение? Ускорение свободного падения на поверхности нейтронной звезды равно

226

Решения

2

−

×

10 3

2

10 м / с кг × 2 × 2 × 30

10 кг

GM

g =

нейтронной звезды = 3

12

2

3 10 м / с.

2 r

(10 м)

= ×

2

4

Ускорение свободного падения больше центростремительного, поэтому его хватит, чтобы удержать вас на поверхности нейтронной звезды. Обратите внимание, что если бы нейтронная звезда вращалась еще в 3–4 раза быстрее, все было бы иначе — даже ее чудовищной гравитации не хватило бы, чтобы удержать вещество, и звезда разлетелась бы на куски. Поэтому астрономы не удивляются, что до сих пор, несмотря на активные поиски, не обнаружено пульсаров, которые вращались бы значительно быстрее, чем

600 оборотов в секунду. Нынешний рекорд принадлежит нейтронной звезде в шаровом скоплении Терзан 5, которая совершает 716 оборотов в секунду.

49. Жизнь на нейтронной звезде

49. аЭто сокрушительная гравитация. Сначала нам нужно вычислить ускорение свободного падения на нейтронной звезде:

2

−

×

10 3

2

10 м / с кг × 2 × 2 × 30

10 кг

GM